n-Sphäre kompakt? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Wir definieren auf der n-Sphäre [mm] \mathbb{S}^n [/mm] eine Äquivalenzrelation: für [mm] x,y\in \mathbb{S}^n [/mm] gelte [mm] x\sim [/mm] y genau dann, wenn [mm] x=\pm [/mm] y ist. Sei [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] homöomorph zum reell-projektiven Raum [mm] \mathbb{P}^n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \mathbb{P}^n [/mm] ein kompakter, zusammenhängender topologischer Raum ist. |
Nabend Leute,
also, dass es sich um einen topologischen Raum handelt is eigenlich klar und ansonsten reicht es doch hier aufgrund des Homöomorphismus die Kompaktheit sowie den Zusammenhang für [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] zu zeigen oder nich? Für die Kompaktheit muss ich ja dann eine offene Überdeckung der n-Sphäre finden, sodass diese eine offene Teilüberdeckung besitzt. Da bin ich allerdings leicht überfragt. Könnt mir da jemand helfen so eine Überdeckung zu finden? Wär echt super. Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> also, dass es sich um einen topologischen Raum handelt is eigenlich klar
Achja... nun, warum denn?
> und ansonsten reicht es doch hier aufgrund
> des Homöomorphismus die Kompaktheit sowie den Zusammenhang
> für [mm]\mathbb{S}^n/\sim[/mm] zu zeigen oder nich?
Was für ein Homöomorphismus?
> Für die Kompaktheit muss ich ja dann eine offene Überdeckung der
> n-Sphäre finden, sodass diese eine offene Teilüberdeckung
> besitzt.
Nein, nein, nein! Schau dir erstmal die Definition für Kompaktheit richtig an, du hast die nämlich überhaupt nicht verstanden.
Ach und nur mal so nebenbei: Das Forum ist nicht dafür gedacht, dass du hier deine kompletten Übungsaufgaben lösen lässt.
Ich habe den Eindruck, dass du bei einfach jeder Sache die du nicht gleich verstehst sofort hier irgend ne Frage stellst. So wirst du aber überhaupt gar nix lernen! Du musst erstmal gründlich selbst über alles nachdenken. Dazu gehört mindestens, dass man ALLE Definitionen der Objekte, um die es geht, begriffen hat.
Schönen Abend noch,
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nun, dass es sich bei [mm] \mathbb{P}^n [/mm] tatsächlich um einen topologischen Raum handelt, liegt schlicht daran, dass gilt [mm] \mathbb{P}^n:=\IR^n\setminus {0}/\sim [/mm] und [mm] \mathbb{P}^n [/mm] zusammen mit der Quotiententopologie einen Quotientenraum bildet.
Der angesprochene Homöomorphismus zwischen den Hausdorffräumen [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] und [mm] \mathbb{P}^n [/mm] liefert insbesondere die Stetigkeit und Bijektivität und ermöglicht es einem damit die Kompaktheit von [mm] \mathbb{P}^n [/mm] zu zeigen, indem man sie lediglich für [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] beweist.
Nun zu deinem Vorwurf, dass ich hier nur Lösungen abgreifen will: das stimmt so sicherlich nicht. Allerdings muss ich dir Recht geben. Ich bin immer schnell dabei die Flinte ins Korn zu schmeißen und Hilfe bei anderen zu suchen, anstatt ne Pause einzulegen und später selbst nochmals aktiv zu werden. Also das tut mir leid. Ich gelobe Besserung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Um ehrlich zu sein, bin ich mir jetz gar nich mehr sicher, dass die beiden Räume [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] und [mm] \mathbb{P}^n [/mm] hausdorffsch sind. Kann das jemand bestätigen? Ich hab in meinen Unterlagen nichts gefunden, aber gibt es da vielleicht ein Kriterium mit dem man das prüfen kann ob ein Quotientenraum wie z.B. die beiden angegebenen auch wirklich hausdorffsch ist?? Es könnt ja sein, dass jeder Quotientenraum, der aus einem metrischen Raum hervorgeht auch wieder hausdorffsch ist. Danke schon mal für die Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Di 10.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Um ehrlich zu sein, bin ich mir jetz gar nich mehr sicher,
> dass die beiden Räume [mm]\mathbb{S}^n/\sim[/mm] und [mm]\mathbb{P}^n[/mm]
> hausdorffsch sind. Kann das jemand bestätigen? Ich hab in
> meinen Unterlagen nichts gefunden, aber gibt es da
> vielleicht ein Kriterium mit dem man das prüfen kann ob
> ein Quotientenraum wie z.B. die beiden angegebenen auch
> wirklich hausdorffsch ist?? Es könnt ja sein, dass jeder
> Quotientenraum, der aus einem metrischen Raum hervorgeht
> auch wieder hausdorffsch ist. Danke schon mal für die
> Antwort.
Hi,
beide Räume sind Hausdorffsch.
Quotiententopologien verhalten sich bzgl. Trennungsaxiomen recht schlecht (in dem Sinne, dass man kaum Informationen aus dem ursprünglichen Raum herausholen kann).
Auf der englischen Wikipedia-Seite zur Quotiententopologie (![[]](/images/popup.gif) Link) gibt es ein allg. Kriterium, welches du hier sogar explizit nachprüfen könntest.
Ich würde es aber an deiner Stelle direkt machen, also direkt mit der Definition von allem.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also trotz dem Studium der Definitionen bin ich nicht sonderlich schlauer als zuvor. Daher wäre ich dir pelzig aber auch jedem anderen hier dankbar, wenn er mir einen Tipp parat hätte, wie ich den Beweis der Kompaktheit von [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] angehe. Besten Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hier siehst du, dass es gar nicht trivial ist zu zeigen, dass der Homöo auch wirklich ein Homöo ist.
Und zu der Kompaktheit von [mm] S^n/\sim: [/mm] Benutze die Kompaktheit der [mm] S^n [/mm] und die Definition der Quotiententopologie. Und gehe dann einfach direkt in die Definition der Überdeckungskompaktheit rein.
LG, Alex
edit: Huch, ich sehr ja gerade, dass du derselbe bist, der in dem anderen Thread die Frage gestellt hat. ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hehe ja schon :). Waren eigentlich zwei Teilaufgaben, allerdings hab ich erst später gesehn, dass beide zusammen hängen.
Muss ich denn nicht zuerst die Kompaktheit von [mm] \mathbb{S}^n [/mm] nachweisen, um die dann benutzen zu können. In der Vorlesung wurde das nämlich nicht gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Um die Kompaktheit von [mm] \mathbb{S}^n [/mm] nachzuweisen kann ich doch hier den Satz von Heine-Borel anwenden. Dieser besagt ja, dass jede Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] kompakt ist, wenn diese abgeschlossen und beschränkt ist. Da [mm] \mathbb{S}^n [/mm] als Rand des (n+1)-dimensionalen Balles aufgefasst werden ist sie auf jeden Fall abgeschlossen (stimmt das??). Dann bleibt nur noch die Beschränktheit zu zeigen. Und da für alle [mm] x\in \mathbb{S}^n [/mm] gilt [mm] \|x\|=1 [/mm] ist sie natürlich auch beschränkt ( ist das richtig??).
So und nun wie bereits beschrieben: Da [mm] \mathbb{S}^n [/mm] kompakt ist, ist nun mittels Qutiententopologie für jede offene Überdeckung von [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] eine endliche Teilüberdeckung gegeben, da dies bereits für [mm] \mathbb{S}^n [/mm] aufgrund der Kompaktheit galt.
Sollte das alles jetzt so stimmen, dann bleibt noch zu zeigen, dass [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] zusammenhängend ist. Ich kann das bestimmt ähnlich machen wie eben die Kompaktheit. Da fehlt mir aber jegliche Idee. Weiß da jemand was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Di 10.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Um die Kompaktheit von [mm]\mathbb{S}^n[/mm] nachzuweisen kann ich
> doch hier den Satz von Heine-Borel anwenden. Dieser besagt
> ja, dass jede Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] kompakt ist, wenn diese
> abgeschlossen und beschränkt ist. Da [mm]\mathbb{S}^n[/mm] als Rand
> des (n+1)-dimensionalen Balles aufgefasst werden ist sie
> auf jeden Fall abgeschlossen (stimmt das??). Dann bleibt
> nur noch die Beschränktheit zu zeigen. Und da für alle
> [mm]x\in \mathbb{S}^n[/mm] gilt [mm]\|x\|=1[/mm] ist sie natürlich auch
> beschränkt ( ist das richtig??).
>
Diese Begründung ist richtig.
Bei der Abgeschlossenheit würde ich aber sagen, dass [mm] S^n [/mm] das Urbild der stetigen Norm-Funktion von der abg. Menge [mm] \{1\} [/mm] ist, d.h. wieder abgeschlossen (Urbilder abg. Mengen unter stetigen Abb. sind wieder abg.).
> So und nun wie bereits beschrieben: Da [mm]\mathbb{S}^n[/mm] kompakt
> ist, ist nun mittels Qutiententopologie für jede offene
> Überdeckung von [mm]\mathbb{S}^n/\sim[/mm] eine endliche
> Teilüberdeckung gegeben, da dies bereits für [mm]\mathbb{S}^n[/mm]
> aufgrund der Kompaktheit galt.
Ähmm... das ist ziemlich Wirr (aber schon die richtigen Ideen vorhanden).
Mache es Schritt für Schritt. Du hast eine offene Überdeckung [mm] \{U_i\} [/mm] von [mm] S^n/\sim. [/mm] Wie -genau- kriegst du davon eine endliche Teilüberdeckung?
>
> Sollte das alles jetzt so stimmen, dann bleibt noch zu
> zeigen, dass [mm]\mathbb{S}^n/\sim[/mm] zusammenhängend ist. Ich
> kann das bestimmt ähnlich machen wie eben die Kompaktheit.
> Da fehlt mir aber jegliche Idee. Weiß da jemand was?
Mache es mit einem Widerspruchsbeweis. Angenommen, [mm] S^n/\sim [/mm] wäre nicht zusammenhängend. Was würde dann passieren, wenn du die einzelnen Zusammenhangskomponenten hochziehst auf [mm] S^n?
[/mm]
(Mit "hochziehen" meine ich hier, du verwendest die Definition der Quotiententopologie, d.h. betrachtest das Urbild einer Menge unter der Projektionsabbildung.)
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Di 10.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also nochmal zur Kompaktheit von [mm] \mathbb{S}^n/\sim:
[/mm]
Ich hab eine offene Überdeckung [mm] \{U_i\} [/mm] von [mm] S^n/\sim. [/mm] Nach der Definition der Quotiententopologie ist diese Überdeckung nur offen, wenn [mm] \pi^{-1}(\{U_i\}) [/mm] offen in [mm] \mathbb{S}^n [/mm] ist. Da aber [mm] \mathbb{S}^n [/mm] bereits kompakt, gibt es auf jeden Fall eine offene Überdeckung von [mm] \mathbb{S}^n, [/mm] die [mm] \pi^{-1}(\{U_i\}) [/mm] enthält und weiter gibt es eine endliche Teilüberdeckung [mm] \pi^{-1}(V_1,...,V_n) [/mm] von [mm] \pi^{-1}(\{U_i\}) [/mm] für [mm] \mathbb{S}^n. [/mm] Und damit ist auch [mm] V_1,...,V_n [/mm] eine endliche Teilüberdeckung von [mm] \mathbb{S}^n/\sim.
[/mm]
Kann man das so ungefähr sagen oder wo gibts hier Probleme? Es fühlt sich irgendwie noch nich ganz richtig an :). Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 10.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Also nochmal zur Kompaktheit von [mm]\mathbb{S}^n/\sim:[/mm]
> Ich hab eine offene Überdeckung [mm]\{U_i\}[/mm] von [mm]S^n/\sim.[/mm]
> Nach der Definition der Quotiententopologie ist diese
> Überdeckung nur offen, wenn [mm]\pi^{-1}(\{U_i\})[/mm] offen in
> [mm]\mathbb{S}^n[/mm] ist.
Hier würde ich sagen: Nach Definition der Quotiententopologie ist also [mm]\pi^{-1}(U_i)[/mm] offen in [mm] S^n [/mm] für alle i.
> Da aber [mm]\mathbb{S}^n[/mm] bereits kompakt,
> gibt es auf jeden Fall eine offene Überdeckung von
> [mm]\mathbb{S}^n,[/mm] die [mm]\pi^{-1}(\{U_i\})[/mm] enthält und weiter
> gibt es eine endliche Teilüberdeckung
> [mm]\pi^{-1}(V_1,...,V_n)[/mm] von [mm]\pi^{-1}(\{U_i\})[/mm] für
> [mm]\mathbb{S}^n.[/mm]
Ähm... das ist irgendwie Quark. Zumindest ist es unverständlich hingeschrieben.
Du hast doch vorher deine offene Überdeckung [mm] \{U_i\} [/mm] von [mm] S^n/\sim [/mm] hochgezogen zu einer offenen Überdeckung von [mm] S^n [/mm] (hier müsste man noch ein Wort dazu verlieren, warum das eine Überdeckung ist).
Und jetzt benutze die Kompaktheit von [mm] S^n, [/mm] um davon eine endliche Teilüberdeckung zu kriegen. Und die kannste dann wieder runterdrücken zu einer endlichen Teilüberdeckung von [mm] S^n/\sim.
[/mm]
> Und damit ist auch [mm]V_1,...,V_n[/mm] eine endliche
> Teilüberdeckung von [mm]\mathbb{S}^n/\sim.[/mm]
>
> Kann man das so ungefähr sagen oder wo gibts hier
> Probleme? Es fühlt sich irgendwie noch nich ganz richtig
> an :). Danke für die Hilfe.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:40 Di 10.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich komm einfach nicht drauf warum [mm] \pi^{-1}(U_i) [/mm] bereits eine Überdeckung von [mm] \mathbb{S}^n [/mm] ist. Das könnte doch genau so gut nur eine Teilüberdeckung sein. Warum kann das nicht sein? Danke für die Antwort.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 12.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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