n-Sphäre homöomorph proj. Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN_0. [/mm] Wir definieren eine Äquivalenzrealtion auf [mm] \mathbb{S}^n: [/mm] für [mm] x,y\in \mathbb{S}^n [/mm] gelte [mm] x\sim [/mm] y genau dann, wenn [mm] x=\pm [/mm] y ist.
Zeigen Sie, dass [mm] \mathbb{S}^n/\sim [/mm] homöomorph zum reell-projektiven Raum [mm] \mathbb{P}^n [/mm] ist. |
Morgen Leute,
also wir haben heute noch den Tipp bekommen, dass wir uns die Abbildungsvorschrift [mm] [x]\mapsto [\bruch{x}{\|x\|}] [/mm] mal anschauen sollen. Dennoch tu ich mir schwer damit einen geeigneten Homöomorphismus anzugeben. Oder reicht es, wenn ich den Tipp einfach hinschreibe und dann die Eigenschaften eines Homöomorphismus nachrechne? Wenn nich wärs natürlich ganz klasse, wennn mir jemand helfen könnte einen passenden Homöomorphimus anzugeben. Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Abbildung [mm] $$\IR\mathbb{P}^n\ni [x]\mapsto\left[\frac{x}{\|x\|}\right]\in \mathbb{S}^n/\sim$$ [/mm] ist der gesuchte Homöomorphismus.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay aber ich muss ja jetzt noch alle Eigenschaften des Homöomorphismus nachrechnen. Wie zeig ich hier zum Beispiel die Stetigkeit? Das will mir einfach nicht gelingen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Alsodie Bijektivität ist denke ich sehr einfach. Wegen der Stetigkeit kann ich dir leider auch nicht weiter helfen, habe noch nie Topologie gehört und kenne daher die ganzen Tricks um Stetigkeit zu zeigen nicht. Ich würde wahrscheinlich damit anfangen mir zu überlegen, was die offenen Mengen in [mm] $\mathbb{RP}^n$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbb{S}^n/\sim$ [/mm] sind und dann zeigen, dass Bilder und Urbilder offener Mengen offen sind. Das würde sicher viel zu lange dauern, aber so käme man sicher auch zum Ziel :)
Edit: Achja, vielleicht fängst du auch erstmal damit an zu zeigen, dass die Abbildung überhaupt wohldefiniert ist. Immerhin operierst du Auf Quotientenräumen...
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:05 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich hab leider immer noch Probleme hier die Surjektivität zu zeigen. Kann mir da jemand weiterhelfen? Mein Ansatz bisher:
Setze [mm] [y]:=[\bruch{x}{\|x\|}]. [/mm] Dann gilt [mm] \bruch{x}{\|x\|}=\pm [/mm] y [mm] \gdw x=\pm y*\|x\|. [/mm] Es gilt also:
[mm] \forall [y]\in \mathbb{S}^n: \exists [x]=[\pm y*\|x\|]\in \mathbb{P}^n [/mm] sodass [mm] h([x])=[\bruch{\pm y*\|x\|}{\|\pm y*\|x\|\|}]=[\bruch{\pm y*\|x\|}{| y|*\|\|x\|\|}]=[\bruch{\|x\|}{\|\|x\|\|}]
[/mm]
Aber das stimmt wohl so nicht, denn es müsste am Ende ja [mm] [\bruch{x}{\|x\|}] [/mm] stehen. Wie kann ich das anders machen damits auch wirklich mit der Surjektivität hinhaut? Danke schon mal.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:33 Di 10.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Es wär echt toll, wenn da nochmal jemand drüber schauen könnte. Hab ich hier nun die Surjektivität nachgewiesen oder fehlt dazu noch der ein oder andere Schritt?? Ich bin mir einfach unsicher. Es sieht halt schon ganz gut aus, aber wie gesagt geht es am Ende dennoch nicht richtig auf. Wo steckt der Fehler? Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 12.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi,
du hast die Projektionen [mm] $$\pi_1:\IR^{n+1}-\{0\} \to \IR P^n$$ [/mm] und [mm] $$\pi_2:S^n \to S^n/\sim,$$ [/mm] sowie die Abbildung [mm] $$u:\IR^{n+1}-\{0\} \to S^n, [/mm] v [mm] \mapsto \frac{v}{\|v\|}$$ [/mm] und deine Abbildung [mm] $$h:\IR P^n \to S^n/\sim,$$ [/mm] von der du zeigen willst, dass sie ein Homöo ist.
Zeige zuerst, dass h wohldefiniert ist, dann versuche $$h [mm] \circ \pi_1 [/mm] = [mm] \pi_2 \circ [/mm] u$$ zu zeigen (wenn du dir das quadratisch aufmalst wird es verständlicher was du da machst - du zeigst dann nur die Kommutativität des aufgemalten Diagramms). Daraus folgt die Stetigkeit von h.
Ausserdem kannst du zu h eine Umkehrabbildung angeben (wie, das siehst du im Diagramm). Dass diese wirklich eine Umkehrabbildung ist, hast du aber im Grunde schon an der Stelle gezeigt, dass h wohldefiniert ist.
Die Stetigkeit der Umkehrabbildung folgt nun daraus, dass [mm] RP^n [/mm] kompakt und [mm] S^n/\sim [/mm] Hausdorffsch sind (wobei du dies auch noch erst zeigen musst).
LG, Alex
edit: Zu zeigen, dass [mm] RP^n [/mm] kompakt ist, ist schwer ohne zu wissen, dass [mm] RP^n [/mm] = [mm] S^n/\sim [/mm] ist. Zeige lieber die Stetigkeit der Umkehrabbildung direkt an Hand der Definition (Urbilder offener Mengen sind offen). Hierbei brauchst du nur die Stetigkeit von u und von [mm] \pi_2, [/mm] sowie die Offenheit von [mm] \pi_1 [/mm] zu benutzen (letzteres musst du natürlich auch erst zeigen).
edit2: Ja, das ist ein aufwändiger Beweis. Und nein, einen einfacheren kenne ich nicht. Man kann es auch noch ganz anders machen, indem man direkt eine offenen Überdeckung von [mm] RP^n [/mm] angibt an Hand von "schönen" Mengen und daran etwas rumfummelt, aber das ist ebenso technisch.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:54 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Puuuh, okay ers mal vielen Dank. Nun das is ja doch etwas üppiger als erwartet :). Also kann ich die Stetigkeit von [mm] \pi_1, \pi_2 [/mm] und u voraussetzen oder wie is das? Und warum hab ich durch [mm] h\circ \pi_1 =\pi_2 \circ [/mm] u bereits die Stetigkeit von h gezeigt? Dann muss ich ja auch noch die Bijektivität zeigen. Es wurde ja schon gesagt, dass das ziemlich einfach sei, aber könnt ich dazu trotzdem noch einen kleinen Tipp bekommen? Herzlichen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ist geklärt bzw. ich bin dahinter gekommen wie das ganze funktioniert. Danke an alle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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