größtes Element zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mo 06.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Sei A [mm] \subset [/mm] P eine endliche Teilmenge des Positivbereichs P.
Zeigen Sie, dass die Menge A ein größtes Element x´ [mm] \in [/mm] A enthält, d.h. es gibt ein x´ [mm] \in [/mm] A mit x´ ≥ x für alle x ∈ A. |
Hallo.
Ich weiß nicht so recht, wie ich hier vorzugehen habe...
Was ich weiß, ist dass A [mm] \subset [/mm] P und dass x´,x [mm] \in [/mm] A sind.
Laut Definition soll ich folgendes zeigen:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \le [/mm] x´
Wäre es hier sinnvoll einen Widerspruchsbeweis zu machen?
Danke schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sollten wir deine Frage in einem Forum finden, das du hier nicht aufgeführt (oder später ergänzt) hast, werden wir deine Frage nicht unseren hilfsbereiten Mitgliedern vorlegen, sondern die Beantwortung den interessierten Mitgliedern überlassen.
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moin,
hier musst du noch ein wenig mehr zu erzählen, insbesondere was dein $P$ genau sein soll. Soll das ein Positivbereich nach dieser Definition sein? Wenn ja, in welchem Körper liegt $P$, wie ist die Ordnung auf diesem Körper definiert?
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mo 06.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Sorry.
Die volle Aufgabe lautet:
Es sei (K,+,*,P) ein angeordneter Körper und x,y,z [mm] \in [/mm] K. Wir definieren x [mm] \le [/mm] y durch x < y oder x=y, wobei x<y bedeutet, dass y-x [mm] \in [/mm] P gilt.
Zeigen Sie: aus x<y und y<z folgt x<z.
Das ist Teilaufgabe a. Dass hier die Transitivität gilt, habe ich beweisen können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 06.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Die volle Aufgabe lautet:
Es sei (K,+,*,P) ein angeordneter Körper und x,y,z [mm]\in[/mm] K.
Wir definieren x [mm]\le[/mm] y durch x < y oder x=y, wobei x<y
bedeutet, dass y-x [mm]\in[/mm] P gilt.
Zeigen Sie: aus x<y und y<z folgt x<z.
Das ist Teilaufgabe a. Dass hier die Transitivität gilt,
habe ich beweisen können.
Teilaufgabe b
Sei A [mm]\subset[/mm] P eine endliche Teilmenge des Positivbereichs
P.
Zeigen Sie, dass die Menge A ein größtes Element x´ [mm]\in[/mm]
A enthält, d.h. es gibt ein x´ [mm]\in[/mm] A mit x´ ≥ x für
alle x ∈ A. |
Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die volle Aufgabe lautet:
>
> Es sei (K,+,*,P) ein angeordneter Körper und x,y,z [mm]\in[/mm] K.
> Wir definieren x [mm]\le[/mm] y durch x < y oder x=y, wobei x<y
> bedeutet, dass y-x [mm]\in[/mm] P gilt.
> Zeigen Sie: aus x<y und y<z folgt x<z.
>
> Das ist Teilaufgabe a. Dass hier die Transitivität gilt,
> habe ich beweisen können.
>
> Teilaufgabe b
>
>
> Sei A [mm]\subset[/mm] P eine endliche Teilmenge des Positivbereichs
> P.
> Zeigen Sie, dass die Menge A ein größtes Element x´ [mm]\in[/mm]
> A enthält, d.h. es gibt ein x´ [mm]\in[/mm] A mit x´ ≥ x für
> alle x ∈ A.
> Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
Ich würde das mit Induktion nach der Anzahl der Elemente von A erledigen, also so:
Beh.: für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt: jede n - elementige Teilmenge von P enthält ein größtes Element.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:26 Di 07.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Könnte man nicht auch so argumentieren?
[mm] \exists [/mm] x* [mm] \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x* [mm] \ge [/mm] x
Wenn man diese Aussage negiert, bekommt man doch:
[mm] \forall [/mm] x* [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: [mm] x\ge [/mm] x*
Das würde widerrum bedeuten, dass es kein größtes Element gäbe und A=P ist. Nagut aber in der Aufgabe steht ja auch nicht, dass A [mm] \subset [/mm] P unbedingt eines enthalten muss...
Falls nicht, wie würde eine Induktion hier aussehen? Habe in der Uni bis jetzt nur Induktionen von Summen gesehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Könnte man nicht auch so argumentieren?
>
> [mm]\exists[/mm] x* [mm]\in[/mm] A [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x* [mm]\ge[/mm] x
>
> Wenn man diese Aussage negiert, bekommt man doch:
>
> [mm]\forall[/mm] x* [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A: [mm]x\ge[/mm] x*
>
> Das würde widerrum bedeuten, dass es kein größtes
> Element gäbe und A=P ist. Nagut aber in der Aufgabe steht
> ja auch nicht, dass A [mm]\subset[/mm] P unbedingt eines enthalten
> muss...
>
>
> Falls nicht, wie würde eine Induktion hier aussehen? Habe
> in der Uni bis jetzt nur Induktionen von Summen gesehen...
das kann ich Dir nicht glauben. Du hast vielleicht nur solche Aufgaben
gerechnet oder vorgerechnet bekommen, aber das Induktionsprinzip
wird sicher irgendwo allgemein vorgestellt worden sein.
Lies mal  Induktion und ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!) (Seite 10 ff., interne Zählung).
Und am Besten durchstöberst Du nochmal Dein Skript und Deine
Übungsaufgaben, ob das, was Du da oben behauptetst, so wirklich stimmt.
Falls ja, so rate ich Dir sowieso, erstmal die vollständige Induktion richtig
zu lernen (Googel hilft, oder Du guckst in Lehrbücher, etwa den Heuser...).
Denn das Zeug wirst Du IMMER wieder brauchen und daher beherrschen
müssen, und nicht nur bei "Aufgaben mit Summen"...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 07.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Okay,
x* [mm] \in [/mm] A (das hier soll jetzt alles für x* gelten, wie in der Aufgabe aber wenn ich den * mache, dann haperts bei mir mit der Darstellung irgendwie.)
also A = { [mm] x_{1}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm] }
Für n=1 ist A = [mm] {x_{1}} [/mm] und damit ist MaxA = [mm] x_{1}
[/mm]
Für n+1 ist A = { [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n}, x_{n+1} [/mm] } = { [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm] } [mm] \bigcup [/mm] { [mm] x_{n+1} [/mm] } und das MaxA = [mm] x_{n+1}
[/mm]
Da ich in der ersten Teilaufgabe bewiesen habe, dass der Körper geordnet ist, gilt somit auch x* [mm] \ge [/mm] x.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:21 Mi 08.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo kRAITOS,
in der Aufgabenstellung fehlt die Forderung, dass $A$ nicht die leere Menge sei. Ansonsten wäre die Behauptung falsch.
> also A = $\{$ [mm]x_{1},[/mm] ... [mm]x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
>
> Für n=1 ist A = [mm]{x_{1}}[/mm] und damit ist MaxA = [mm]x_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Denn $x_1\ge x_1$ und somit $x_1\ge x$ für alle $x\in A$.)
> Für n+1 ist A = $\{$ [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] ... [mm]x_{n}, x_{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ = $\{$
> [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] ... [mm]x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\bigcup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm]x_{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
Genau.
Und die Induktionsvoraussetzung liefert dir?
> und das MaxA
> = [mm]x_{n+1}[/mm]
Warum sollte das gelten?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 08.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
MaxA = [mm]x_{n+1}[/mm]
weil [mm] x_{n+1} [/mm] das größte Element hier ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> MaxA = [mm]x_{n+1}[/mm]
>
> weil [mm]x_{n+1}[/mm] das größte Element hier ist?
nö. Wie willst Du das denn begründen. Das am Induktionsbeweis etwas
nicht stimmen kann, merkt man im Übrigen meist daran, wenn die Induktionsvoraussetzung
'im Induktionsschritt nicht verbraten' wird.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 08.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Induktionsvoraussetzung ist
A = { [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm] }
Ist dann das MaxA, bei n+1
{{ [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm] } , [mm] x_{n+1} [/mm] } ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mi 08.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Induktionsvoraussetzung ist
>
> A = [mm] \{x_1, x_{2},..., x_{n} \}
[/mm]
>
> Ist dann das MaxA, bei n+1
>
> { [mm] x_{1}, x_{2}...x_{n}, x_{n+1} [/mm] } ?
Das ist doch völliger Unsinn !
Den Induktionsanfang würde ich auch noch für den Fall n=2 machen.
Die Induktionsvor. formuliere ich so:
sei n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2, und für jedes k [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] gelte:
ist A eine k- elementige Teilmenge von P, so besitzt A ein Maximum.
So, nun nimm Dir eine n+1 - elementige Teilmenge B von P her:
[mm] B=\{x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}\}
[/mm]
Nun betrachte
[mm] A_1:=\{x_1,x_2,...,x_n\} [/mm] und [mm] A_2:=\{x_2,...,x_n,x_{n+1}\}
[/mm]
und lass auf dies Mengen die IV los
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 08.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Wieso nehme ich mir eine n+1 - elementige Teilmenge B?
Was mir an Menge B auffällt, ist, dass sie alle Elemente von [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] besitzt.
[mm] A_{1}:= [/mm] { [mm] x_{1}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm] }
[mm] A_{2}:= [/mm] { [mm] x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n+1} [/mm] }
Also I.A.: n=1
[mm] A_{1}:= [/mm] { [mm] x_{1} [/mm] }
n=2
[mm] A_{2}:= [/mm] { [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] }
Jetzt hat [mm] A_{2} [/mm] mehr Elemente als [mm] A_{1} [/mm] und das Maximum der Mengen ist unterschiedlich. Aber letztlich ist es doch eine Vereinigung beider Mengen oder?
Jetzt frage ich mich, wieso bei deinem [mm] A_{2} [/mm] das [mm] x_{1} [/mm] wegfällt, das müsste doch trotzdem Bestandteil bleiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wieso nehme ich mir eine n+1 - elementige Teilmenge B?
weil Du im Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$ bist. Nochmal: Schau' Dir Induktionsaufgaben
an.
Übrigens nochmal von wegen "Induktionsaufgaben kenne ich nur für Summen":
https://matheraum.de/read?t=965048
Und schau mal hier (klick!):
Da habe ich doch tatsächlich mit Induktion bewiesen, dass die Summe
(endlich vieler) echt positiver Zahlen doch wirklich echt positiv ist. (Das ist
irgendwie total unnötig, aber der Beweis liefert Dir trotzdem ein Schema,
was dem obigen ähnlich ist).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wieso nehme ich mir eine n+1 - elementige Teilmenge B?
>
> Was mir an Menge B auffällt, ist, dass sie alle Elemente
> von [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] besitzt.
na, [mm] $B=A_1 \cup A_2$ [/mm] war doch offensichtlich. Aber [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] sind beides
[mm] $n\,$-elementige [/mm] Mengen, deswegen sagte Fred ja auch, dass Du auf sie die
I.V. loslassen sollst - weil Du das dann darfst. Danach beachte [mm] $\max B=\max \{\maxA_1, \maxA_2\}$ [/mm]
(Warum?) und dann lies nochmal, dass Fred auch sagte, dass Du besser
den I.V. auch für [mm] $n=2\,$ [/mm] machen solltest, denn das brauchst Du dann...
Oder Du machst einen I.V. in der Art: Für alle $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ gelte die I.V., und
dann machst Du den I.V. $n [mm] \to [/mm] n+1$. Das ginge auch - ist quasi eine etwas
andere Formulierung des Induktionsbeweises, die sind aber gleichwertig.
(Soweit ich weiß, lieben die Informatiker das, diese Aufgabe als
Übungsaufgabe zu stellen: Also die Gleichwertigkeit dieser
Induktionsprinzipien...)
Gruß,
Marcel
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