n \ge 4: n! > 2^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 06.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | | Man zeige mithilfe von vollständiger Induktion: Für n ≥ 4 gilt n! > [mm] 2^{n} [/mm] |
Also der I.A. für A(n)=4:
4! = 1*2*3*4 = 24 > 16 = 2*2*2*2 = [mm] 2^{4}
[/mm]
I.V. ist: Gelte A(n), dann ist n! > [mm] 2^{n}
[/mm]
und das fertige Ergebnis hat so auszusehen: (n+1)! > [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Extern fand ich die Lösung
(n+1)! = (n+1)*n! > [mm] (n+1)*2^{n}> 2*2^{n}= 2^{n+1}
[/mm]
Bis zum ersten Ungleichheitszeichen ist mir alles klar aber wieso steht nach
[mm] (n+1)*2^{n}, [/mm] dass 2*2^(n) kleiner ist? Bzw wie kommt man überhaupt auf [mm] (n+1)*2^{n}? [/mm] Wieso wird das n+1 nicht direkt als Exponent eingesetzt?
Und wieso ist (n+1)! = (n+1)*n!?
Danke schonmal für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige mithilfe von vollständiger Induktion: Für n ≥
> 4 gilt n! > [mm]2^{n}[/mm]
> Also der I.A. für A(n)=4:
>
> 4! = 1*2*3*4 = 24 > 16 = 2*2*2*2 = [mm]2^{4}[/mm]
>
> I.V. ist: Gelte A(n), dann ist n! > [mm]2^{n}[/mm]
>
> und das fertige Ergebnis hat so auszusehen: (n+1)! >
> [mm]2^{n+1}[/mm]
>
>
> Extern fand ich die Lösung
>
> (n+1)! = (n+1)*n! > [mm](n+1)*2^{n}> 2*2^{n}= 2^{n+1}[/mm]
>
>
> Bis zum ersten Ungleichheitszeichen ist mir alles klar aber
> wieso steht nach
>
> [mm](n+1)*2^{n},[/mm] dass 2*2^(n) kleiner ist?
na, wenn $n [mm] \ge [/mm] 4$ ist, ist insbesondere $n > [mm] 1\,$ [/mm] und damit [mm] $\,n+1 [/mm] > 2.$ Aus
$2 < [mm] n+1\,$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $2^n [/mm] > 0$ sodann [mm] $2*2^n [/mm] < [mm] (n+1)*2^n\,.$
[/mm]
Das ist die genaueste Begründung.
Aber Du kannst Dir sowas auch selbst überlegen:
[mm] $$(n+1)*2^n [/mm] > [mm] 2*2^n$$
[/mm]
kannst Du äquivalent umschreiben, indem Du diese Ungleichung durch
[mm] $2^n \;\;\;(>\; 0)\,$ [/mm] dividierst!
> Bzw wie kommt man
> überhaupt auf [mm](n+1)*2^{n}?[/mm]
Hier wird ein INDUKTIONSBEWEIS geführt, da sollte dann doch irgendwo die
Induktionsvoraussetzung (I.V.): [mm] $2^n [/mm] < n!$ für ein $n [mm] \ge [/mm] 4$ eingehen. An dieser
Stelle geht diese halt ein:
Wegen $(n+1)!=(n+1)*(n!)$ und $n! > [mm] 2^n$ [/mm] (I.V.!) folgt, unter Beachtung von $n+1 > [mm] 0\,,$ [/mm] halt
$$(n+1)*n! > [mm] (n+1)*2^n\,.$$
[/mm]
> Wieso wird das n+1 nicht direkt
> als Exponent eingesetzt?
????
> Und wieso ist (n+1)! = (n+1)*n!?
Ist das echt ernstgemeint? Wie ist denn die Fakultät definiert?
Ansonsten kann man das (eigentlich unnötig kompliziert) etwa mit dem
Produktzeichen auch direkt so einsehen:
[mm] $$(n+1)!=\produkt_{k=1}^{n+1} k=\Big(\produkt_{k=1}^{n} k\Big)*(n+1)=(n+1)*\Big(\produkt_{k=1}^{n} k\Big)=(n+1)*n!\,.$$
[/mm]
(Schreib' das Ganze einfach mal aus:
[mm] $(n+1)!=1*2*...*n*(n+1)=(1*2*...*n)*(n+1)=(n!)*(n+1)=(n+1)*n!\,.$)
[/mm]
Aber das, was Du fragst, ist etwa so schwer, wie sich selbst zu überlegen,
warum
[mm] $$\sum_{k=1}^{n+1}a_k=\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big)+a_{n+1}=a_{n+1}+\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big)$$
[/mm]
gilt... (natürlich muss man dafür Assoziativität und Kommutativität haben...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Di 07.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Klingt einleuchtend ja. Danke.
Leider hatten wir die Fakultät noch nicht, vielleicht lag es daran, dass ich mit der Aufgabe so meine Probleme hatte.
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Definition 2.9 (klick!)