Topologischer Raum (2) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:59 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | X sei eine nicht endliche Menge, $ [mm] \mathcal{O} [/mm] $ sei die Familie der Mengen, die aus $ [mm] \emptyset [/mm] $ und allen Komplementen von endlichen Teilmengen von X besteht. Zeigen Sie, dass $ [mm] (X,\mathcal{O}) [/mm] $ ein topologischer Raum ist. |
Die Frage wurde hier schon gestellt. Leider ist der Thread recht lang und daher teile ich ihn jetzt in 3 einzelne Fragen auf.
Eine Korrektur wäre nett! :)
(i) $ [mm] \emptyset \in \mathcal{O}. [/mm] $ Nun ist $ [mm] \emptyset [/mm] $ ebenfalls endliche Teilmenge von X, also das Komplement $ [mm] \overline{\emptyset}=X\backslash\emptyset=X \in \mathcal{O}. [/mm] $
(ii) Sei $ [mm] U_i [/mm] $ endliche Teilmenge von X. => $ [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O}. [/mm] $
Weiter ist $ [mm] \bigcap_{i\in I}U_i \in [/mm] X $ endliche Teilmenge von X.
=> $ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $
und das Komplement vom Durchschnitt ist die Vereinigung der Komplemente der $ [mm] U_i, [/mm] $ also:
$ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{U_i} [/mm] $ Es folgt: $ [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcup_{i\in I}\overline{U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $
(iii) Seien $ [mm] U_1,...,U_n \in [/mm] $ X endlich. => $ [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm] $
Weiter ist $ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}\in [/mm] X $ endlich. => $ [mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $
Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente der $ [mm] U_i. [/mm] $ Also:
$ [mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}=\bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}} [/mm] $ Also: $ [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $
Ist das soweit nachvollziehbar?
Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 01.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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