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Topolog. Raum / Basis: Korrektur
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:15 Di 29.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
a) [mm] X=\IR, \mathcal{O} [/mm] bestehe aus [mm] \IR, \emptyset [/mm] und allen Intervallen $ [mm] (-\infty,a), [/mm] \ [mm] a\in\IR. [/mm] $

b) X sei eine nicht endliche Menge, [mm] \mathcal{O} [/mm] sei die Familie der Mengen, die aus [mm] \emptyset [/mm] und allen Komplementen von endlichen Teilmengen von X besteht.

Zeigen Sie für a) und b), dass [mm] (X,\mathcal{O}) [/mm] ein topologischer Raum ist.

c) $ (X,d) $ sei ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
[mm] \mathcal{B}=\{B_{\delta}(x) \ | \ x\in X, \ \delta=\bruch{1}{k}, \ k\in\IN\} [/mm] ist eine Basis der von $ d $ induzierten Topologie auf X.

Hallo, bin bei dem Thema noch unsicher, daher hier mein Ergebnis zur Korrektur. Danke schonmal fürs drüber schauen! Hier die mir vorliegende Definition einer Topologie.

a) (i) [mm] \emptyset\in\mathcal{O} [/mm] und [mm] \IR\in\mathcal{O} [/mm] ist klar.

(ii) Für Intervalle [mm] U_i:=(-\infty,a_i) [/mm] sei o.B.d.A. jeweils [mm] a_i
$ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}=U_1\cup [/mm] ... [mm] \cup U_n=U_n=(-\infty,a_n)\in\mathcal{O} [/mm] $ für endliche Vereinigungen und

$ [mm] \bigcup_{i=1}^\infty{U_i}=U_1\cup U_2\cup ...=(-\infty,\infty)\in \mathcal{O} [/mm] $ für unendliche bzw. für [mm] n\to\infty. [/mm]

(iii) Wähle oBdA [mm] U_i [/mm] wie oben, dann gilt für endliche Durchschnitte:

[mm] \bigcap_{i=1}^{n}U_i=U_1\cap [/mm] ... [mm] \cap U_n=U_1 \in \mathcal{O} [/mm]

Sehe ich das soweit richtig??


Zu b) (i) [mm] \emptyset \in \mathcal{O}. [/mm] Nun ist [mm] \emptyset [/mm] ebenfalls endliche Teilmenge von X, also das Komplement [mm] \overline{\emptyset}=X\backslash\emptyset=X \in \mathcal{O}. [/mm]

(ii) Sei [mm] U_i [/mm] endliche Teilmenge von X. => [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O}. [/mm]

Weiter ist $ [mm] \bigcap_{i\in I}U_i \in [/mm] X $ endliche Teilmenge von X.

=> $ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $

und das Komplement vom Durchschnitt ist die Vereinigung der Komplemente der [mm] U_i, [/mm] also:

$ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{U_i} [/mm] $ Es folgt: $ [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcup_{i\in I}\overline{U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $

(iii) Seien [mm] U_1,...,U_n \in [/mm] X endlich. => [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm]

Weiter ist $ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}\in [/mm] X $ endlich. => $ [mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $

Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente der [mm] U_i. [/mm] Also:

[mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}=\bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}} [/mm] Also: $ [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $

So richtig?

c) Hier bin ich mir sehr unsicher.. Laut Definition heißt ein System von offenen Mengen in X Basis von V, wenn jede nichtleere Menge [mm] O\in [/mm] V Vereinigung von Mengen aus B ist.
Jetzt überdecken doch die [mm] B_\delta(x) [/mm] den ganzen Raum X. Also kann ich durch die Vereinigung gewisser [mm] B_\delta(x) [/mm] auch jede beliebige Menge [mm] O\in [/mm] V darstellen, oder sehe ich das falsch?

Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn

        
Bezug
Topolog. Raum / Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:02 Mi 30.05.2012
Autor: chesn

Thread kann geschlossen werden!

Gruß,
chesn

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