Pot. dargestellt durch Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für A=
[mm] \begin{pmatrix}
x & 1 & 0 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] x\ne0 [/mm] und alle natürlichen Zahlen n zeige man:
[mm] A^{n}= \begin{pmatrix}
x^{n} & nx^{n-1} & \left( \bruch{n(n-1)}{2} \right)x^{n-2} \\
0 & x^{n} & nx^{n-1} \\
0 & 0 & x^{n}
\end{pmatrix}
[/mm]
Hinweis: [mm] A^{n} [/mm] := A * A * ..... *A - (n-mal), [mm] A^{0}:= [/mm] E; |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe einfach die Determinaten mit Hilfe der Sarrus-Regel angewandt und bin auf [mm]A=x^{3}[/mm] und [mm]A^{n}=x^{3n}[/mm] und da [mm] (x^{3})^{n} [/mm] = [mm] x^{3n} [/mm] ist, hätte ich ja praktisch den Beweis.
Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist.
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Hallo silentsword06,
> Für A=
> [mm]\begin{pmatrix}
x & 1 & 0 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x
\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit [mm]x\ne0[/mm] und alle natürlichen Zahlen n zeige man:
>
> [mm]A^{n}= \begin{pmatrix}
x^{n} & nx^{n-1} & \left( \bruch{n(n-1)}{2} \right)x^{n-2} \\
0 & x^{n} & nx^{n-1} \\
0 & 0 & x^{n}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hinweis: [mm]A^{n}[/mm] := A * A * ..... *A - (n-mal), [mm]A^{0}:=[/mm] E;
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe einfach die Determinaten mit Hilfe der
> Sarrus-Regel angewandt und bin auf [mm]A=x^{3}[/mm] und [mm]A^{n}=x^{3n}[/mm]
> und da [mm](x^{3})^{n}[/mm] = [mm]x^{3n}[/mm] ist, hätte ich ja praktisch
> den Beweis.
>
> Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist.
Dann beweise es mit Hilfe der vollständigen Induktion.
Gruss
MathePower
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Also, ist mein Ansatz nicht brauchbar ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für A=
> [mm]\begin{pmatrix}
x & 1 & 0 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x
\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit [mm]x\ne0[/mm] und alle natürlichen Zahlen n zeige man:
>
> [mm]A^{n}= \begin{pmatrix}
x^{n} & nx^{n-1} & \left( \bruch{n(n-1)}{2} \right)x^{n-2} \\
0 & x^{n} & nx^{n-1} \\
0 & 0 & x^{n}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hinweis: [mm]A^{n}[/mm] := A * A * ..... *A - (n-mal), [mm]A^{0}:=[/mm] E;
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe einfach die Determinaten mit Hilfe der
> Sarrus-Regel angewandt und bin auf [mm]A=x^{3}[/mm] und [mm]A^{n}=x^{3n}[/mm]
> und da [mm](x^{3})^{n}[/mm] = [mm]x^{3n}[/mm] ist, hätte ich ja praktisch
> den Beweis.
>
> Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist.
Das ist doch kompletter Unfug. Du sollst nichts mit Determinanten machen !
Gegeben hast Du obige Matrix A
Zeigen sollst Du, dass die Potenzen [mm] A^n [/mm] die oben angegebene Gestalt haben. Das kannst Du induktiv erledigen !
FRED
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Habe die Aufgabenstellung falsch verstanden.
Danke euch Beiden.
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