Lineare Unabhängigkeit von exp < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für [mm] \lambda\in\IR [/mm] sei [mm] f(x)=e^{\lambda*x}. [/mm] Es soll gezeigt werden, dass die Familie der [mm] f_{\lambda} [/mm] im Vektorraum der Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo,
also ich weiß den Ansatz für diese Aufgabe. Sind [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] verschiedene reelle Zahlen und gilt für [mm] a_{1},...,a_{n}\in\IR, [/mm] dass
[mm] a_{1}\lambda_{1}+...+a_{n}\lambda_{n}=0
[/mm]
für alle reellen x gilt, so kann man daraus schließen, dass [mm] a_{1}=...=a_{n}=0 [/mm] gelten muss.
Wie fängt man das an? Mir ist klar, dass man ausnutzen kann, dass stets [mm] e^{\lambda*x}>0 [/mm] gilt. Damit bin ich doch aber noch nicht fertig oder? Es könnte doch sein, dass gewisse [mm] a_{i} [/mm] auch negativ sind und es so zu einer Auslöschung kommen kann. Wie schließt man denn das aus? Kann man ausnutzen, dass die [mm] \lambda_{i} [/mm] verschieden sind?
Kann mir bitte jemand helfen? Schöne Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Do 19.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \lambda_{1}*e^{a_{1}*x}+....+\lambda_{n}*e^{a_{n}*x}=0 [/mm] für alle x
mit verschiedenen [mm] a_{i}
[/mm]
dann setzt du für x = 1,2,...n ein und erhaltst ein Gleichungssystem
die zugehörige Determinante ist eine Vandermondesche mit [mm] x_{ij}=x_{i}^{j}=e^{{a_i}*j}und [/mm] die ist genau dann null, wenn midnestens zwei der basisquotienten [mm] e^{a_i} [/mm] gleich sind, was aber nicht ist.
daher ist die einzige Lösung die (0,0,0...0) was die lineare unabhängikeit zeigt.
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Hallo wauwau,
danke soweit.
> [mm]\lambda_{1}*e^{a_{1}*x}+....+\lambda_{n}*e^{a_{n}*x}=0[/mm] für
> alle x
> mit verschiedenen [mm]a_{i}[/mm]
Was ist denn damit gemeint? Das ist doch ein anderer Ausdruck, als der den man untersuchen muss um die lineare Abhängigkeit zu zeigen oder? In unserer Aufgaben stehen die [mm] a_{i} [/mm] unten und die [mm] \lambda_{i} [/mm] im Exponenten.
>
> dann setzt du für x = 1,2,...n ein und erhaltst ein
> Gleichungssystem
> die zugehörige Determinante ist eine Vandermondesche mit
> [mm]x_{ij}=x_{i}^{j}=e^{{a_i}*j}und[/mm] die ist genau dann null,
> wenn midnestens zwei der basisquotienten [mm]e^{a_i}[/mm] gleich
> sind, was aber nicht ist.
> daher ist die einzige Lösung die (0,0,0...0) was die
> lineare unabhängikeit zeigt.
Bitte noch ml um Aufklärung. Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Do 19.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wauwau hat einfach die Namen [mm] \lambda [/mm] und a vertauscht. Die Aussage bleibt dieselbe.
Gruss leduart
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