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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 So 23.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Das Legendresche Polynom n-ter Ordnung [mm] P_n: \IR \to \IR [/mm] ist definiert durch [mm] P_n(x):= \bruch{1}{2^n*n!}\bruch{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]
[/mm]
Beh.:
a) Für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] m\not=n [/mm] gilt: [mm] \integral_{-1}^1{P_n(x)P_m(x)dx}=0
[/mm]
b) Für [mm] n\in \IN [/mm] gilt: [mm] \integral_{-1}^1{P^2_n(x)dx}=\bruch{2}{2n+1}
[/mm]
c) [mm] P_n [/mm] besitzt genau n verschiedene Nullstellen im Intervall ]-1,1[.
d) [mm] P_n [/mm] genügt der sogenannten Legendreschen Differenzialgleichung
[mm] (1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)=0 [/mm] |
Hallo allerseits.
Ich wollte fragen, ob mir vielleicht jemand helfen kann...
zu a) und b) habe ich schon alles mögliche versucht, inklusive die Umwandlung des [mm] (x^2-1)^n [/mm] in einen binomialausdruck. War ganz hübsch, hat aber nicht geholfen. Sehe ich das richtig, dass ich das ganze einfach partiell differenzieren muss, bis ich sehe dass am Ende nichts, bzw. das gewünschte übrig bleibt?
zu c) Ein Hinweis ist, dass ich den Satz von Rolle benutzen soll. Aber so ganz durchgestiegen bin ich da noch nicht, wie.
zu d) wieder ein Hinweis: Mann soll den das [mm] (x^2-1)^n [/mm] in der Definition von [mm] P_n [/mm] nach der binomischen Formel berechnen. Aber außer für den Fall, dass ich mich verrechnet habe (was nicht soo unwahrscheinlich ist), sehe ich nicht, wo das hinführen soll...
Wäre wie immer für jede Hilfestellung dankbar,
GRuß
San
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 23.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei n $ [mm] \in \IN. [/mm] $ Das Legendresche Polynom n-ter Ordnung $ [mm] P_n: \IR \to \IR [/mm] $ ist definiert durch $ [mm] P_n(x):= \bruch{1}{2^n\cdot{}n!}\bruch{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] [/mm] $
Beh.:
a) Für m,n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] m\not=n [/mm] $ gilt: $ [mm] \integral_{-1}^1{P_n(x)P_m(x)dx}=0 [/mm] $
b) Für $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gilt: $ [mm] \integral_{-1}^1{P^2_n(x)dx}=\bruch{2}{2n+1} [/mm] $
c) $ [mm] P_n [/mm] $ besitzt genau n verschiedene Nullstellen im Intervall ]-1,1[.
d) $ [mm] P_n [/mm] $ genügt der sogenannten Legendreschen Differenzialgleichung
$ [mm] (1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)=0 [/mm] $ |
Vielen Dank für die Antwort.
Habe es jetzt oberflächlich versucht, nachzuvollziehen und werde mir das natürlich noch in aller Ausführlihckeit anschauen, denke aber jetzt schon, dass ich es nicht verstehen werde. Angefangen bei der Sache, [mm] P_m [/mm] einfach mit [mm] x^m [/mm] zu ersetzen....
Wäre nett, wenn mir noch jemand weiter weiterhelfen könnte. Aber - sicherheitshalbe noch mal nachgefragt, sollte mich doch die Erleuchtung noch packen: Die alte Aufgabe würde mir doch nur bei a) helfen, oder?
Mit verwirrten Gruß,
San
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Hallo!
Tatsächlich wird im alten Thread nur die erste Frage behandelt. Zu deiner Frage, warum man [mm] $P_m$ [/mm] durch [mm] $x^m$ [/mm] ersetzen kann: [mm] $P_m$ [/mm] hat ja eine Darstellung [mm] $P_m(x)=\summe_{k=0}^ma_k x^k$. [/mm] Wenn du jetzt zeigen kannst, dass [mm] $\int_{-1}^1x^kP_n(x)dx=0$ [/mm] für alle $k<n$, und es gilt $m<n$, dann folgt: [mm] $\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=\summe_{k=0}^ma_k\int_{-1}^1x^k P_n(x)dx=0$.
[/mm]
Jetzt noch ein paar Tipps für die anderen Fragen:
b) Versuch's hier auch mal mit part. Integration wie in a)!
c) Grundsätzlich treten bei einem reellen Polynom komplexe Nullstellen in komplex-konjugierten Paaren auf. Ist also [mm] $\alpha\in\IC\setminus\IR$ [/mm] eine Nullstelle, so ist auch [mm] $\bar\alpha$ [/mm] eine Nullstelle. Für reelle $x$ ist dann [mm] $(x-\alpha)(x-\bar\alpha)\ge [/mm] 0$.
Jetzt nimm an, das Polynom [mm] $P_n$ [/mm] hat nur $m<n$ reelle Nullstellen von ungerader Vielfachheit. Bezeichne diese mit [mm] $x_1,\dots,x_m$. [/mm] Jetzt betrachte [mm] $(x-x_1)\cdots(x-x_m)P_n(x)$. [/mm] Was gilt für dieses Polynom? Und was passiert, wenn du [mm] $\int_{-1}^1(x-x_1)\cdots(x-x_m)P_n(x)dx$ [/mm] bildest?
d) Hast du hier schon mal versucht ein bisschen rumzurechnen? Poste doch mal deine Versuche!
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen, vielen lieben Dank von meiner Seite, habe jetzt meine Aufgaben - zwar unvollständig aber wenigstens irgendwie - abgegeben.
Ehrlich gesagt, hatte ich wenig zeit um rumzurechnen, wg Klausuren und ähnlichem, versuche, alles mögliche nachzuholen. Werde jetzt in aller Ruhe den Zettel noch mal richtig durchrechnen und bearbeiten
Vielen Dank noch mal an alle Helfer,
San
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