Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Hulpi |
| Aufgabe | Ich habe komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Seien a,b beliebige reele Zahlen, und die Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ rekursiv definiert durch
$ [mm] a_1=a, a_2=b, a_n =\left( \bruch{a_n_-_1+1_n_-_2}{2} \right), n\ge3 [/mm] $
Zeigen Die, dass $ [mm] (a_n) [/mm] $ konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Hallo,
ich hatte die Frage zwar schonmal gestellt und auch schnell Antworten erhalten, aber ich hatte die Zeit der Frage leider zu kurz bemessen und konnte dann keine weitere Frage dazu stellen.
Also ich habe die ersten sieben Folgenglieder bestimmt:
$ [mm] a_3= \left( \bruch{b+a}{2} \right) [/mm] $
$ [mm] a_4= \left( \bruch{3b+a}{4} \right) [/mm] $
$ [mm] a_5= \left( \bruch{5b+3a}{8} \right) [/mm] $
$ [mm] a_6= \left( \bruch{11b+5a}{16} \right) [/mm] $
$ [mm] a_7= \left( \bruch{21b+11a}{32} \right) [/mm] $
und sehe, dass es da durchaus einen Zusammenhang zwischen den folgenden b & a gibt.
Irgendwie muss ich die Folge auf die Form $ [mm] a_n=\alpha_n\cdot{}a+\beta_n\cdot{}b [/mm] $ bringen, weiß aber nicht genau wie ich das anstelle und ich möchte es gern verstehen und nicht durch raten draufkommen =).
ich hatte auch schon eine Idee wie ich den Zusammenhang zwischen den Vorfaktoren bestimmt und zwar
für b: $a [mm] b\cdot{}2(-1 )^{n-1}$ [/mm] und für a: $ [mm] a\cdot{}2(-1 )^{n}$
[/mm]
Jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich da weiter machen soll. Würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könnt.
Wenn ich den Grenzwert dann habe, kann ich die Konvergenz doch einfach mithilfe von "Epsilon" zeihgen, also [mm] \left| a_n-a\right|<"Epsilon [/mm] oder?
Gruß,
Hulpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo,
also ich hab da nochmal was gesehen und zwar, wenn ich den Bruch auseinanderzeihe
$ [mm] a_3= \left( \bruch{b+a}{2} \right) [/mm] = [mm] \left( \bruch{b}{2} \right) [/mm] + [mm] \left( \bruch{a}{2} \right) [/mm] $
$ [mm] a_4= \left( \bruch{3b+a}{4} \right) [/mm] = [mm] \left( \bruch{3b}{4} \right) +\left( \bruch{a}{4} \right) [/mm] $
$ [mm] a_5= \left( \bruch{5b+3a}{8} \right) [/mm] = [mm] \left( \bruch{5b}{8} \right) [/mm] + [mm] \left( \bruch{3a}{8} \right) [/mm] $
usw.
Naja ich hab dann festgestellt, dass es sich $ [mm] \br{1}{3}a+\br{2}{3}b [/mm] $ annähert.
und das stimmt offenbar, aber wie komm ich drauf ohne es durch probieren zu machen oder geht das nicht=?
Gruß,
Hulpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 01.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
hat Dir die Lösung mit der Differenzengleichungsmethode nicht gefallen? Wenn ja wieso nicht. Ansonsten siehe hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Hulpi |
Wir hatten noch keine Differenzialrechnung und daher darf ich die nicht benutzen, hät ich vielleicht dazu sagen sollen =S. Außerdem versteh ich es noch nicht, also es ist bestimmt ganz toll aber naja so weit bin ich leider noch nciht.
Gruß,
Hulpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 01.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
als erstes fällt auf das die Faktoren vor a und b, ich nenne sie [mm] \alpha_n [/mm] und [mm] \beta_n [/mm] (nicht zu verwechseln mit Deinen [mm] \alpha_n [/mm] und [mm] \beta_n), [/mm] addiert den Nenner ergeben und der Nenner ist [mm] 2^{n-2} [/mm] also gilt [mm] \alpha_n+\beta_n=2^{n-2} [/mm] und damit ist
[mm] a_n=\br{\left(2^{n-2}-\alpha_n\right)*b+\alpha_n*a}{2^{n-2}}=\left(1-\br{\alpha_n}{2^{n-2}}\right)*b+\br{\alpha_n}{2^{n-2}}*a
[/mm]
Im weiteren wird die Folge [mm] \alpha_n [/mm] weiter behandelt werden.
Durch betrachten der von Dir ermittelten Zahlen sieht man das gilt [mm] \alpha_n=2*\alpha_{n-1}+(-1)^{n-1}
[/mm]
Sukzessives einsetzen ergibt [mm] \alpha_n=2^k*\alpha_{n-k}+\summe_{i=0}^{k-1}(-1)^{n-i-1}*2^i [/mm] für k=n-3 und [mm] \alpha_3=1 [/mm] ergibt sich
[mm] \alpha_n=2^{n-3}+\summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{n-i-1}*2^{i} [/mm] daraus folgt
[mm] \br{\alpha_n}{2^{n-2}}=\br{1}{2}+\summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{n-i-1}*2^{i-n+2}
[/mm]
Die Summe ist eine geometrische Reihe die gegen [mm] -\br{1}{6} [/mm] konvergiert. Also gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\br{\alpha_n}{2^{n-2}}=\br{1}{3} [/mm] D.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\br{1}{3}a+\br{2}{3}b
[/mm]
Wenn man nicht nur den Grenzwert ausrechnet sondern die Summe exakt auswertet kommt auf folgendes Ergebnis
[mm] a_n=\left[\br{2}{3}+\br{4}{3}\left(-\br{1}{2}\right)^n\right]b+\left[\br{1}{3}-\br{4}{3}\left(-\br{1}{2}\right)^n\right]a
[/mm]
also das Gleiche wie bei der Differenzengleichungsmethode
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| Aufgabe | Sukzessives einsetzen ergibt $ [mm] \alpha_n=2^k\cdot{}\alpha_{n-k}+\summe_{i=0}^{k-1}(-1)^{n-i-1}\cdot{}2^i [/mm] $ für k=n-3 und $ [mm] \alpha_3=1 [/mm] $ ergibt sich
$ [mm] \alpha_n=2^{n-3}+\summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{n-i-1}\cdot{}2^{i} [/mm] $ daraus folgt
$ [mm] \br{\alpha_n}{2^{n-2}}=\br{1}{2}+\summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{n-i-1}\cdot{}2^{i-n+2} [/mm] $
Die Summe ist eine geometrische Reihe die gegen $ [mm] -\br{1}{6} [/mm] $ konvergiert. Also gilt
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\br{\alpha_n}{2^{n-2}}=\br{1}{3} [/mm] $ D.h.
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\br{1}{3}a+\br{2}{3}b [/mm] $ |
Hallo ullim,
kannst du mir vlt nochmal erklären wie du zu dem Schritt mit dem Summenzeichen gekommen bist? Das verstehe ich noch nciht so richtig.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
geh von der [mm] a_{n-1} [/mm] zu [mm] a_{n-2} [/mm] usw bis zu [mm] a_{n-k} [/mm] und verfolge , was bei jedem Schritt passiert. oder du kannst du auch nur 2 Schritte machen und sehen, wie es bis k läuft.
Gruss leduart
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Ach ja klar! Danke... Das ist wohl ein typischer Fall von ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht...
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Ich sehe irgendwie nicht so richtig, wie bei der Summe -1/6 rauskommt. Wie ergibt sich das hier aus der Formel für die geometrische Reihe? Das n in den Exponenten der Summanden stört mich da.
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Hallo T_sleeper,
> Ich sehe irgendwie nicht so richtig, wie bei der Summe -1/6
> rauskommt. Wie ergibt sich das hier aus der Formel für die
> geometrische Reihe? Das n in den Exponenten der Summanden
> stört mich da.
Ja, das sieht blöd aus. In der Summenformel kommt ja auch das Anfangsglied [mm] a_0 [/mm] (oder so) vor, das hier also eine Zweierpotenz mit negativem, von n abhängigen Exponenten ist. Allerdings kommt n dann in dem anderen Teil der Formel ja noch einmal vor...
Rechne doch mal nach.
Oder besser: vor.
(Falls die Frage dann noch besteht).
Grüße
reverend
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> Hallo T_sleeper,
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> > Ich sehe irgendwie nicht so richtig, wie bei der Summe -1/6
> > rauskommt. Wie ergibt sich das hier aus der Formel für die
> > geometrische Reihe? Das n in den Exponenten der Summanden
> > stört mich da.
>
> Ja, das sieht blöd aus. In der Summenformel kommt ja auch
> das Anfangsglied [mm]a_0[/mm] (oder so) vor, das hier also eine
> Zweierpotenz mit negativem, von n abhängigen Exponenten
> ist. Allerdings kommt n dann in dem anderen Teil der Formel
> ja noch einmal vor...
>
> Rechne doch mal nach.
> Oder besser: vor.
> (Falls die Frage dann noch besteht).
>
> Grüße
> reverend
>
Wenn ich wüsste, was ich wie rechnen müsste, hätte ich es getan, aber das weiß ich eben nicht.
Ich weiß nicht so recht, wie man die Formel mit [mm] a_{0}\frac{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] anwenden soll. Ist [mm] a_0 [/mm] nicht einfach [mm] (-1)^{n-1}2^{2-n}? [/mm] Aber was ist dann q?
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Hallo nochmal,
> Wenn ich wüsste, was ich wie rechnen müsste, hätte ich
> es getan, aber das weiß ich eben nicht.
Ach so. Ok.
> Ich weiß nicht so recht, wie man die Formel mit
> [mm]a_{0}\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] anwenden soll. Ist [mm]a_0[/mm] nicht
> einfach [mm](-1)^{n-1}2^{2-n}?[/mm] Aber was ist dann q?
ullim hatte diese Summe betrachtet:
[mm] \summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{n-i-1}\cdot{}2^{i-n+2}
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] hast Du richtig identifiziert. Ziehen wir das mal heraus:
[mm] \summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{n-i-1}\cdot{}2^{i-n+2}=(-1)^{n-1}2^{2-n}*\summe_{i=0}^{n-4}(-1)^{-i}*2^i=(-1)*(-2)^{2-n}*\summe_{i=0}^{n-4}(-2)^i
[/mm]
So, ich habe mal ein bisschen zusammengefasst, im wesentlichen bei den (-1)-Faktoren. Dabei ist (für [mm] i\in\IZ [/mm] natürlich) praktisch, dass [mm] (-1)^{-k}=(-1)^k [/mm] ist.
Jetzt ist deutlich zu sehen, dass q=-2 ist.
Grüße
reverend
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