Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo,
Ich habe komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Seien a,b beliebige reele Zahlen, und die Folge [mm] (a_n) [/mm] rekursiv definiert durch
[mm] a_1=a, a_2=b, a_n =\left( \bruch{a_n_-1+1_n_-2}{2} \right), n\ge3
[/mm]
Zeigen Die, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.
Ich hab zuerst einmal überlegt, dass man Konvergenz durch Monotonie zeigen kann, und habe die Relation zwischen [mm] a_n [/mm] und [mm] a_n_+1 [/mm] betrachtet. Aber wenn a und b reelle Zahlen sind, bringt das glaube ich wenig, da sie sowohl nagativ als auch positiv sein können.
Dann habe ich versucht auf den Grenz wert zu schließen. Ich habe die Folgenglieder bis [mm] a_7 [/mm] berechnet aber es kommt nichts deutbares heraus
[mm] a_3= \left( \bruch{b+a}{2} \right)
[/mm]
[mm] a_4= \left( \bruch{3b+a}{4} \right)
[/mm]
[mm] a_5= \left( \bruch{5b+3a}{8} \right)
[/mm]
[mm] a_6= \left( \bruch{11b+5a}{16} \right)
[/mm]
[mm] a_7= \left( \bruch{21b+8a}{32} \right)
[/mm]
Also bis auf den Nenner kann ich da nichts finden. Ich hab leider auch keine Vermutung wie der Grenzwert aussieht, da ja sowohl Nenner als auch Zähler wachsen.
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
lg,
Hulpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Hulpi,
> Hallo,
>
> Ich habe komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
>
> Seien a,b beliebige reele Zahlen, und die Folge [mm](a_n)[/mm]
> rekursiv definiert durch
>
> [mm]a_1=a, a_2=b, a_n =\left( \bruch{a_n_-1+1_n_-2}{2} \right), n\ge3[/mm]
du müsstest nochmal bitte richtig hinschreiben, wie deine Folge aussehen soll. Das was du da hingeschreiben hast, scheint mir keinen Sinn zu machen.
LG walde
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Hallo Hulpi,
na, das ist doch schon ein guter Weg.
> Seien a,b beliebige reele Zahlen, und die Folge [mm](a_n)[/mm]
> rekursiv definiert durch
>
> [mm]a_1=a, a_2=b, a_n =\left( \bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} \right), n\ge3[/mm]
Ich hab mal ein bisschen drin herum korrigiert. Sollte das so aussehen?
Indizes mit mehr als einem Zeichen gehören in geschweifte Klammern. Dann werden sie korrekt angezeigt.
> Zeigen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] konvergiert, und bestimmen Sie den
> Grenzwert.
>
>
> Ich hab zuerst einmal überlegt, dass man Konvergenz durch
> Monotonie zeigen kann, und habe die Relation zwischen [mm]a_n[/mm]
> und [mm]a_n_+1[/mm] betrachtet. Aber wenn a und b reelle Zahlen
> sind, bringt das glaube ich wenig, da sie sowohl nagativ
> als auch positiv sein können.
Stimmt. Aber...
> Dann habe ich versucht auf den Grenz wert zu schließen.
> Ich habe die Folgenglieder bis [mm]a_7[/mm] berechnet aber es kommt
> nichts deutbares heraus
>
> [mm]a_3= \left( \bruch{b+a}{2} \right)[/mm]
>
> [mm]a_4= \left( \bruch{3b+a}{4} \right)[/mm]
>
> [mm]a_5= \left( \bruch{5b+3a}{8} \right)[/mm]
>
> [mm]a_6= \left( \bruch{11b+5a}{16} \right)[/mm]
>
> [mm]a_7= \left( \bruch{21b+8a}{32} \right)[/mm]
>
> Also bis auf den Nenner kann ich da nichts finden. Ich hab
> leider auch keine Vermutung wie der Grenzwert aussieht, da
> ja sowohl Nenner als auch Zähler wachsen.
Naja, man sähe mehr, wenn [mm] a_7 [/mm] stimmen würde. Tuts aber nicht.
Du könntest mal die Koeffizienten vor b und a betrachten und Deine Folge so aufspalten:
[mm] a_n=\alpha_n*a+\beta_n*b
[/mm]
Die beiden Folgen [mm] (\alpha_n) [/mm] und [mm] (\beta_n) [/mm] sind nicht schwer zu finden. Beide sind konvergent und haben also einen Grenzwert.
Ein Tipp dazu: Führe für [mm] \alpha_n [/mm] und [mm] \beta_n [/mm] die rekursive Definition aus zwei vorhergehenden Folgengliedern auf eine solche mit nur einem vorhergehenden Folgenglied zurück. Ab da ist alles einfach.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo reverend,
also erst mal danke, dass du meine Aufgabe korrigiert hast =), genau so aolls aussehen. Habs zwar in der Vorschau angeschaut aber wenn man die Aufgabe schon zum 10. mal sieht interpretiert man da leicht was rein.
Wie dem auch sei. Ich hab [mm] a_7 [/mm] nochmal gerechnet und den Fehler gefunden.
$ [mm] a_7= \left( \bruch{21b+11a}{32} \right) [/mm] $
Also hängen a und b zusammen, wobei b immer einen Faktor "Vorsprung" zu haben scheint.
Die Faktoren verhalten sich soweit ich das erschließen kann immer so:
für b:
von [mm] a_3 [/mm] zu [mm] a_4: [/mm] $ b*2+1 $
von [mm] a_4 [/mm] zu [mm] a_5: [/mm] $ b*2-1 $
von [mm] a_5 [/mm] zu [mm] a_6: [/mm] $ b*2+1 $
von [mm] a_6 [/mm] zu [mm] a_7: [/mm] $ b*2-1 $
dann müsste b für [mm] a_8 [/mm] so zu berechnen sein.
von [mm] a_7 [/mm] zu [mm] a_8: [/mm] $ b*2+1 $
Für a müsste das ganze analog funktionieren.
Ich bin mir nicht sicher, ob du das mit dem Tipp gemeint hast.
Geht es darum hier eine explizite Folge zu erschaffenum den Grenzwert abzulesen?
Wie mach ich das ganze mit der Konvergenz, also wenn ich den Grenzwert habe kann, ist es dann mit dem Epsilon Test zu zeigen oder wie geht man das an. Ich hab die ganze Geschichte mit Chauchy & Co da noch nicht ganz verstanden =S.
Grüße,
Hulpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
alternativ kannst Du mit Mitteln der Differenzengleichungen an das Problem gehen. Zu lösen ist in Deinem Fall die Differenzengleichung
[mm] a_{n}-\br{1}{2}a_{n-1}-\br{1}{2}a_{n-1}=0 [/mm] mit [mm] a_1=a [/mm] und [mm] a_2=b
[/mm]
Als Lösungsansatz für [mm] a_n [/mm] wählt man die Form [mm] \lambda^n [/mm] mit noch unbestimmten [mm] \lambda
[/mm]
Durch einsetzen und anschließende Division durch [mm] \lambda^{n-2} [/mm] erhält man die Gleichung
[mm] \lambda^2-\br{1}{2}\lambda-\br{1}{2}=0 [/mm] mit den Lösungen [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=-\br{1}{2}
[/mm]
Daraus ergibt sich durch Linearkombination (ähnlich wie bei Differentialgleichungen) die allgemeine Lösung zu
[mm] a_n=A*1^n+B*\left(-\br{1}{2}\right)^n
[/mm]
Es muss gelten [mm] a_1=a [/mm] und [mm] a_2=b [/mm] Damit ergeben sich A und B wie folgt
[mm] A=\br{1}{3}a+\br{2}{3}b
[/mm]
[mm] B=-\br{4}{3}a+\br{4}{3}b
[/mm]
Die Lösung lautet also
[mm] a_n=\left[\br{1}{3}a+\br{2}{3}b\right]+\left[-\br{4}{3}a+\br{4}{3}b\right]\left(-\br{1}{2}\right)^n
[/mm]
Der zweite Summand konvergiert gegen 0 für n gegen [mm] \infty
[/mm]
Daraus folgt der Grenzwert ergibt sich zu
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\br{1}{3}a+\br{2}{3}b
[/mm]
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