Konvergenz nachweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | sei [mm] (z_n)_n [/mm] eine Folge in [mm] \IC. [/mm] Zeige:
Konvergiert [mm] (z_n)_n [/mm] gegen ein [mm] z\in \IC, [/mm] so konvergiert die [mm] Folge(|z_n|)_n [/mm] gegen |z| |
Hallo,
mit den Folgen und Reihen habe ich immernoch sehr starke Probleme.
ich würde es so anfangen:
zu zeigen: die Folge [mm] (z_n)_n [/mm] konvergiert gegen z
d.h.
sei [mm] \varepsilon>0
[/mm]
Nach der Supremumseigenschaft existiert N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{N}<\varepsilon
[/mm]
Also gilt für [mm] n\ge [/mm] N:
[mm] |z_n [/mm] - [mm] z|=z_n\le\bruch{1}{N}<\varepsilon
[/mm]
zu zeigen: [mm] (|z_n|)_n [/mm] konvergiert gegen |z|
(hier oben habe ich versucht, dass Gegebene mit den Mitschriften der Vorlesung zu verbinden)
hier bin ich ins grübeln geraten...
denn wenn zu untersuchen ist [mm] (|z_n|)_n [/mm] konvergiert gegen |z|... dann müssen doch 2 Fälle betrachtet werden, oder?
|z|=0 und |z|>0
wenn [mm] z_n [/mm] gegen |z|=0 also gegen Null konvergiert, so kann ich dass ja so machen:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm]
Nach der Supremumseigenschaft existiert N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{N}<\varepsilon
[/mm]
Also gilt für [mm] n\ge [/mm] N:
[mm] |z_n [/mm] - [mm] 0|=z_n\le\bruch{1}{N}<\varepsilon
[/mm]
bei |z|>0 weiß ich nicht wie es aussehen soll, ausserdem wollte ich fragen ob ich das richtig mache?
sind meine Ansätze vielleicht falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Feiratos!
Sieh mal hier. Da wurde diese Frage bereits vor kurzem gestellt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
wenn ich zu den Querverweis von dir hingehe steht da als Antwort für die Frage
Eine Folge in $ [mm] \IC [/mm] $ konvergiert genau dann, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil jeweils konvergiert.
Du musst also Deine Folge $ [mm] z_n [/mm] $ jeweils zerlegen in Realteil und Imaginärteil.
ja aber wie kann ich denn den Realteil und Imaginärteil in der Folge erkennen?
Ich meine es ist ja nur Zn gegeben, aber allgemein gehalten.
Wäre es nicht richtig [mm] z_n [/mm] so zu betrachten, dass der Betrag von z größer oder gleich Null ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Feiratos!
Du musst dann die entsprechende komplexe Zahl bzw. Zahlenfolge in Realteil und Imaginärteil zerlegen und separat untersuchen: [mm] $z_n [/mm] \ = \ [mm] a_n+i*b_n$ [/mm] .
Für Deine Aufgaben benötigst Du dann noch die Definition des Betrages einer komplexen Zahl mit $|z| \ = \ |a+i*b| \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
Ach jetzt jetzt habe ich es kapiert,
vielen dank für deine Tipps.
Viele Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 18.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo, du hast doch:
$ |z| \ = \ [mm] |a+i\cdot{}b| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] $ geschrieben.
Dazu noch: Eine Folge konvergieret, wenn sowohl Realteil als auch ihr Imaginärteil konvergiert.
Ich habe mir noch einen Zwischenschritt dazugedacht:
$ |z| \ = \ [mm] |a+i\cdot{}b| [/mm] \ =|a|+|i*b|= \ [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] $
Damit hätte ich doch mit der Dreicksungleichung gearbeitet.
Kann ich das jetzt so machen dass ich einmal zeige:
[mm] a_n [/mm] ist konvergent gegen |z| wenn gilt:
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] |a_n-z|<\varepsilon
[/mm]
für alle [mm] n\ge [/mm] N
[mm] i*b_n [/mm] ist konvergent gegen |z|
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] |i*b_n-z|<\varepsilon
[/mm]
für alle [mm] n\ge [/mm] N
damit hätt ich doch gezeigt (dann später beim Beweis), dass sozusagen [mm] a_n [/mm] und [mm] i*b_n [/mm] in der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von |z| liegen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 18.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ |z| \ = \ [mm] |a+i\cdot{}b| [/mm] \ [mm] =|a|+|i\cdot{}b|= [/mm] \ [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] $
Das ist einfach falsch.
[mm] |a|+|i\cdot{}b|\ge \wurzel{a^2+b^2} [/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 18.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Feiratos,
ehrlich gesagt blicke ich bei Deinen ganzen Behauptungen da nicht so ganz durch. (Es kam ja auch schon der Einwand, dass i.a. (für $x,y [mm] \in \IR$) $|x+i*y|\not=|x|+|i*y|$ [/mm] ist! Bsp.: [mm] $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \not=|1|+|i*1|=1+1=2\,.$)
[/mm]
Wenn Du das mit Real- und Imaginärteilfolgen machst:
Sei [mm] $z_n=x_n+i*y_n$ [/mm] (mit [mm] $x_n,\,y_n \in \IR$ [/mm] für [mm] $n\in \IN$) [/mm] und sei [mm] $(z_n)_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $z\,=\,x+i*y$ [/mm] (mit $x,y [mm] \in \IR$).
[/mm]
Überlege Dir:
Dann gilt (für die reellen Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(y_n)_n$) [/mm]
[mm] $$(\star_1)\;\;\;x_n \to x\;\;\; \text{ und }\;\;\; (\star_2)\;\;\;y_n \to y\;(\text{jeweils bei }n \to \infty)\,.$$
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $$(\star_3)\;\;\;|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}\,.$$
[/mm]
Benutze nun [mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$ [/mm] in [mm] $(\star_3)\,.$
[/mm]
Dafür sollte folgendes bekannt sein:
[mm] $\bullet$ [/mm] Das Produkt zweier (reell- oder komplexwertiger) konvergenter Folgen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Folgen.
(Was gilt also für [mm] $x_n^2$ [/mm] bzw. [mm] $y_n^2$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Analoges gilt für die Summe zweier konvergenter Folgen.
(Was folgt daher nun für [mm] $x_n^2+y_n^2$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Ist [mm] $(c_n)_n$ [/mm] eine gegen $c$ konvergente Folge mit nichtnegativen Gliedern, so konvergiert [mm] $(\sqrt{c_n})_n$ [/mm] gegen [mm] $\sqrt{c}\,.$ [/mm]
Damit erhälst Du nun
[mm] $$\sqrt{x_n^2+y_n^2} \to ...\;\;\; \text{bei }n \to \infty$$
[/mm]
(ergänze die Pünktchen bitte!) und am Ende solltest Du noch [mm] $|z|=|x+i*y|=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] beachten.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Di 18.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Feiratos,
> sei [mm](z_n)_n[/mm] eine Folge in [mm]\IC.[/mm] Zeige:
> Konvergiert [mm](z_n)_n[/mm] gegen ein [mm]z\in \IC,[/mm] so konvergiert die
> [mm]Folge(|z_n|)_n[/mm] gegen |z|
man kann die Aufgabe natürlich, wie vorgeschlagen, mit Real- und Imaginärteilfolgen lösen. Das muss man aber nicht. (Dennoch denke bitte diesen Ansatz mit Real- bzw. Imaginärteil zu Ende!)
Ich biete Dir folgende ALternative an:
Die Behauptung folgt auch mit der Ungleichung
[mm] $$|\;|w|-|v|\;| \le |w-v|\;\;\;\text{für alle }v,w \in \IC\,.$$
[/mm]
(Diese Ungleichung erhält man, indem man die Dreiecksungleichung auf [mm] $|w|\,=\,|(w-v)+v|$ [/mm] und [mm] $|v|\,=\,|(v-w)+w|$ [/mm] anwendet und danach beachtet, dass für alle $b [mm] \ge [/mm] 0$ und $a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
$$|a| [mm] \le b\;\;\;\gdw\;\;\;-b \le [/mm] a [mm] \le b\,.$$
[/mm]
(Interessant ist hier die Richtung [mm] $\Leftarrow\,.$))
[/mm]
Damit ist die ganze Aufgabe eine Banalität:
[mm] $$|\;|z|-|z_n|\;| \le |z-z_n|$$
[/mm]
liefert sofort die Behauptung. (Du kannst da nun z.B. mit der [mm] $\varepsilon-N_\varepsilon$-Definition [/mm] (oder [mm] $\varepsilon-n_0$-Definition, [/mm] wenn ihr das so genannt habt) drangehen oder direkt mit dem Einschließkriterium, da ja auch $0 [mm] \le |\;|z|-|z_n|\;|$ [/mm] gilt.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Di 18.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank für die ganzen Tipps.
Die werde ich erstmal auf mich wirken lassen und versuchen umzusetzen.
Das kann aber etwas dauern
nochmals vielen Dank an Alle, sobald ich ein Ergebnis habe melde ich mich wieder!
Viele Grüße
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