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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - konvergierte Folgen in C
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konvergierte Folgen in C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Sa 15.11.2008
Autor: Kocram

Aufgabe
Sei [mm] (z_{n})_{n} [/mm] eine Folge in [mm] \IC. [/mm] Zeigen Sie:
(i) Konvergiert [mm] (z_{n})_{n} [/mm] gegen ein z [mm] \in \IC, [/mm] so konvergiert die Folge [mm] (|z_{n}|)_{n} [/mm] gegen |z|.
(ii) Genau dann ist [mm] (z_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge, wenn [mm] (|z_{n}|)_{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
(iii) Ist [mm] (z_{n})_{n} [/mm] beschränkt und ist [mm] (w_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge in [mm] \IC, [/mm] so ist auch [mm] (z_{n}w_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge.

Hallo,

ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht zurecht.

Wir haben ja gegeben, dass es zu jedem [mm] \varepsilon \in \IR, \varepsilon>0 [/mm] ein Index [mm] n_{0} [/mm] gibt, so dass aus n [mm] \in \IN, n\ge n_{0} [/mm] stets [mm] |z_{n}-z|< \varepsilon [/mm] folgt.
Das heißt doch, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}=z [/mm] gilt und somit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}-z=0. [/mm]

Also müssen wir zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}-z=\limes_{n\rightarrow\infty} |z_{n}|-|z| [/mm] ist.

Ist es soweit überhaupt halbwegs richtig und wie könnte ich weitermachen.

        
Bezug
konvergierte Folgen in C: Real- und Imaginärteil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:03 So 16.11.2008
Autor: Loddar

Hallo Kocram!


Eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil jeweils konvergiert.

Du musst also Deine Folge [mm] $z_n$ [/mm] jeweils zerlegen in Realteil und Imaginärteil.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
konvergierte Folgen in C: Teilaufgabe 2
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:58 So 16.11.2008
Autor: Kocram

Ich dank dir, habs verstanden.

Nur komme ich jetzt bei der (ii) nicht weiter.
Man muss doch zeigen, dass [mm] Re(z_{n}) [/mm] und [mm] Im(z_{n}) [/mm] gegen 0 konvergieren, wenn [mm] Re(|z_{n}|) [/mm] und [mm] Im(|z_{n}|) [/mm] gegen 0 konvergieren.

[mm] (|z_{n}|)=\wurzel{(x_{n})²+(y_{n})²} [/mm] konvergiert also gegen z=0=0x+i*0y. Das heißt, dass doch, dass [mm] x_{n}=Re(z_{n})=0 [/mm] und [mm] y_{n}=Im(z_{n})=0 [/mm] gelten muss. Das heißt ja dann schon automatisch, dass auch [mm] (z_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge sein muss, oder?

Bezug
                        
Bezug
konvergierte Folgen in C: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Di 18.11.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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