konvergierte Folgen in C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | Sei [mm] (z_{n})_{n} [/mm] eine Folge in [mm] \IC. [/mm] Zeigen Sie:
(i) Konvergiert [mm] (z_{n})_{n} [/mm] gegen ein z [mm] \in \IC, [/mm] so konvergiert die Folge [mm] (|z_{n}|)_{n} [/mm] gegen |z|.
(ii) Genau dann ist [mm] (z_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge, wenn [mm] (|z_{n}|)_{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
(iii) Ist [mm] (z_{n})_{n} [/mm] beschränkt und ist [mm] (w_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge in [mm] \IC, [/mm] so ist auch [mm] (z_{n}w_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge. |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht zurecht.
Wir haben ja gegeben, dass es zu jedem [mm] \varepsilon \in \IR, \varepsilon>0 [/mm] ein Index [mm] n_{0} [/mm] gibt, so dass aus n [mm] \in \IN, n\ge n_{0} [/mm] stets [mm] |z_{n}-z|< \varepsilon [/mm] folgt.
Das heißt doch, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}=z [/mm] gilt und somit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}-z=0.
[/mm]
Also müssen wir zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}-z=\limes_{n\rightarrow\infty} |z_{n}|-|z| [/mm] ist.
Ist es soweit überhaupt halbwegs richtig und wie könnte ich weitermachen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:03 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kocram!
Eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil jeweils konvergiert.
Du musst also Deine Folge [mm] $z_n$ [/mm] jeweils zerlegen in Realteil und Imaginärteil.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:58 So 16.11.2008 | | Autor: | Kocram |
Ich dank dir, habs verstanden.
Nur komme ich jetzt bei der (ii) nicht weiter.
Man muss doch zeigen, dass [mm] Re(z_{n}) [/mm] und [mm] Im(z_{n}) [/mm] gegen 0 konvergieren, wenn [mm] Re(|z_{n}|) [/mm] und [mm] Im(|z_{n}|) [/mm] gegen 0 konvergieren.
[mm] (|z_{n}|)=\wurzel{(x_{n})²+(y_{n})²} [/mm] konvergiert also gegen z=0=0x+i*0y. Das heißt, dass doch, dass [mm] x_{n}=Re(z_{n})=0 [/mm] und [mm] y_{n}=Im(z_{n})=0 [/mm] gelten muss. Das heißt ja dann schon automatisch, dass auch [mm] (z_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge sein muss, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Di 18.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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