Integralrechnung Ma-Abi 94 th < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=-0,5x³+2x² und die Gerade
[mm] g(x)=\bruch{8}{3}x-3,5, [/mm] sowie die y-Achse. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die somit eingeschlossen wird! |
Hallo ihr Freunde der Mathematik
welch beneidenswertes hobby....wie dem auch sei, mein achso geliebter mathelehrer hat mir diese Aufgabe gestellt, die ich nun meinem Kurs vorstellen soll (LK-Nachholung auf sächsische art...) Die Aufgabe entstammt dem Nahtermin der Abiprüfung Thüringen 1994.
Leider, ich nehm an, dass das besagter Leerer vergas, hatten wir bisher noch nie Integralrechnung...und das brauch ich doch, um die Fläche zu berechnen, nicht? Wie mach ich das? Über einen konkreten Lösungsweg bin ich euch sehr dankbar, da mir eine gute Punktzahl hierbei sehr wichtig ist. Danke
RD
ps: ich hab die frage sobnst nirgendwo im internet gestellt, sprich in keinem Forum etc.
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Hallo Raoul_Duke,
> Gegeben ist die Funktion f(x)=-0,5x³+2x² und die Gerade
> [mm]g(x)=\bruch{8}{3}x-3,5,[/mm] sowie die y-Achse. Berechnen Sie
> den Inhalt der Fläche, die somit eingeschlossen wird!
> Hallo ihr Freunde der Mathematik
> welch beneidenswertes hobby....wie dem auch sei, mein
> achso geliebter mathelehrer hat mir diese Aufgabe gestellt,
> die ich nun meinem Kurs vorstellen soll (LK-Nachholung auf
> sächsische art...) Die Aufgabe entstammt dem Nahtermin der
> Abiprüfung Thüringen 1994.
> Leider, ich nehm an, dass das besagter Leerer vergas,
> hatten wir bisher noch nie Integralrechnung...und das
> brauch ich doch, um die Fläche zu berechnen, nicht? Wie
> mach ich das? Über einen konkreten Lösungsweg bin ich euch
> sehr dankbar, da mir eine gute Punktzahl hierbei sehr
> wichtig ist. Danke
Siehe hier: Integral
> RD
>
> ps: ich hab die frage sobnst nirgendwo im internet
> gestellt, sprich in keinem Forum etc.
Gruß
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
danke für deine schnelle antwort. Doch leider hat diese bei mir mehr fragen aufgerufen, als gesundheitsverträglich sind. Wie dem auch sei: Ich hatte nie zuvor was von integralen, sorichtig schein ich auch nicht in der lage zu sein, mir das selbst zu erklären. über diesem \integral_{a}^{b}{f(x) dx, was muss da dadrüber, also da vo jetzt b, und was darunter, wo jetzt a sthet rein?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 So 29.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zuerst mal, ist es oft hilfreich, eine Skizze des Problems zu erstellen.
Hier geht es darum, die blaue Fläche zu berechnen.
Dazu berechen zuerst mal die Schnittstelle der beiden Funktionen hier [mm] x_{s}=3 [/mm] und die Nullstelle der Gerade, hier [mm] x_{0}=\bruch{4}{3}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dazu berechne zuerst mal die Fläche oberhalb der x-Achse und unterhalb der kubischen Funktion von der y-Achse bis zur Nullstelle der Geraden
Das wäre [mm] \integral_{0}^{\bruch{4}{3}}(-0,5x³+2x²)dx
[/mm]
Weiter berechne mal (den Betrag) der Fläche unterhalb der x-Achse und oberhalb der Gerade:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{4}{3}}(\bruch{8}{3}x-3,5)dx
[/mm]
Die weitere Fläche die du berechnen kannst, ist die rote Fläche, das wäre [mm] \integral_{\bruch{4}{3}}^{3}(\bruch{8}{3}x-3,5)dx
[/mm]
Die Blaue Fläche überhalb der roten kannst du mit [mm] \integral_{\bruch{4}{3}}^{3}(-0,5x³+2x²)dx-A_{rot} [/mm] berechnen.
Also wäre diese Fläche:
[mm] \integral_{\bruch{4}{3}}^{3}(-0,5x³+2x²)dx-\integral_{\bruch{4}{3}}^{3}(\bruch{8}{3}x-3,5)dx
[/mm]
Jetzt kannst du aber einige Integrale zusammenfassen.
Somit ergibt sich aus all den Integralen ein Gesamtintegral mit der Differenzfunktion [mm] d(x)=f(x)-g(x)=-\bruch{1}{2}x³+2x²-\bruch{8}{3}x+\bruch{7}{2}
[/mm]
Also ergibt sich ein Gesamtintegral
[mm] \integral_{0}^{3}(-\bruch{1}{2}x³+2x²-\bruch{8}{3}x+\bruch{7}{2})dx
[/mm]
Mit dem sogenannten Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a), [/mm] wobei F(x) die Stammfunktion ist, deren Bildung ich dir hier erklärt habe.
Also hier:
[mm] \integral_{0}^{3}(-\bruch{1}{2}x³+2x²-\bruch{8}{3}x+\bruch{7}{2})dx
[/mm]
=D(b)-D(a)
=...
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:23 So 29.06.2008 | | Autor: | Raoul_Duke |
Hey Marius
Ein ganz dickes Danke dafür, dass du dich zu so später stund mit derartigen Aufgaben beschäftigst und damei hilflosen mathenachhängern wie mir hilfst. Ich muss das ganze noch mal durchdenken, glaub aber dahinterkommen zu können.
Die Fläche beträgt dann 6,375 FE², nich?
Nochmal ganz großen Dank, für beide aufgaben
RD
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 29.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hey Marius
>
> Ein ganz dickes Danke dafür, dass du dich zu so später
> stund mit derartigen Aufgaben beschäftigst und damei
> hilflosen mathenachhängern wie mir hilfst. Ich muss das
> ganze noch mal durchdenken, glaub aber dahinterkommen zu
> können.
Super
> Die Fläche beträgt dann 6,375 FE², nich?
Korrekt, nur schreib lieber nur FE (Ohne Quadrat).Du berechnest ja Flächen, und die haben eben Flächeneinheiten.
> Nochmal ganz großen Dank, für beide aufgaben
> RD
Marius
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