Gradient in Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:02 Do 09.09.2010 | | Autor: | sqrt25 |
| Aufgabe | Stellen Sie [mm] \nabla [/mm] f in Polarkoordinaten dar.
|
Polarkoordinaten: [mm] \phi (r,\alpha)=r\begin{pmatrix}
cos\alpha\\ sin\alpha\end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe dazu nun folgende Zeile in einem Skript gefunden:
I)
[mm] \nabla (f\circ \phi) =J_\phi^t \cdot \nabla f\circ \phi
[/mm]
=> [mm] \nabla f\circ \phi= J_\phi^{-t} \nabla(f\circ \phi)
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz, wie genau man auf die 1. Zeile kommt, denn...
...im Skript steht weiter
II)
[mm] \nabla f\circ \phi [/mm] = [mm] r^{-1} \begin{pmatrix}
r cos\alpha& -sin\alpha\\
rsin\alpha&cos\alpha\end{pmatrix}\nabla (f\circ \phi)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] = [mm] r^{-1} \begin{pmatrix}
r cos\alpha\partial_r (f\circ \phi) -sin\alpha \partial_\alpha (f\circ \phi)\\
r sin\alpha \partial_r (f\circ \phi)+cos\alpha \partial_\alpha (f\circ \phi)
\end{pmatrix}
[/mm]
daraus schließe ich, dass für [mm] \nabla (f\circ \phi) [/mm] [mm] \begin{pmatrix}
\partial_r (f\circ \phi)\\
\partial_\alpha (f\circ \phi)
\end{pmatrix} [/mm] gilt.
...und
(III)
[mm] \partial_r(f\circ \phi)=\partial_nf\circ \phi \cdot \partial_r\phi_n=<\nabla(f\circ \phi),\partial_r\phi>
[/mm]
[mm] \partial_\alpha(f \circ \phi)=\partial_nf\circ \phi \cdot \partial_\alpha\phi_n=<\nabla(f\circ \phi),\partial_\alpha\phi>
[/mm]
Es wurde also einfach die Kettenregel angewendet.
III) verwirrt mich. Wenn doch nach II) für [mm] \nabla(f\circ \phi) \begin{pmatrix}
\partial_r (f\circ \phi)\\
\partial_\alpha (f\circ \phi)
\end{pmatrix} [/mm] gilt, so gilt doch nach III) für [mm] \nabla(f\circ \phi) \begin{pmatrix}
\partial_n (f\circ \phi)\\
\partial_n(f\circ \phi)\end{pmatrix}, [/mm] was doch der äußeren Ableitung von f entspricht.
Was gilt denn nun für [mm] \nabla(f\circ \phi)? [/mm]
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Fr 10.09.2010 | | Autor: | sqrt25 |
mhm...okay, vielleicht findet ja niemand die Zeit, sich den obigen Text durchzulesen, deshalb fasse ich ihn mal in einer Frage zusammen:
f: [mm] \IR^2\to\IR
[/mm]
[mm] \phi: (r,\alpha)\to [/mm] r [mm] \begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix}
[/mm]
Wie ist [mm] \nabla (f\circ\phi) [/mm] definiert?
p.s.: Die Überlegungen, die ich dazu gemacht habe, stehen oben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Fr 10.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze
$g(r, [mm] \alpha):= f(r*cos(\alpha), r*sin(\alpha))$
[/mm]
Bestimme nun den Gradienten von g, also den Vektor
[mm] $(g_r(r, \alpha), g_{\alpha}(r, \alpha))$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 10.09.2010 | | Autor: | sqrt25 |
Naja, das wäre ja dann:
[mm] \begin{pmatrix} \partial_r g(r,\alpha)\\ \partial_\alpha g(r,\alpha) \end{pmatrix}
[/mm]
...es soll also nach den Koordinaten von [mm] \phi, [/mm] der inneren Funktion, abgeleitet werden. Die Kettenregel ist somit zu beachten. Ich weiß nur nicht, wie ich in diesem Fall die innere Ableitung aufschreiben soll... [mm] \phi [/mm] ist doch ein Vektor.
Aber schon mal vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo sqrt25,
man kann den Begriff des Gradienten auch auf ein Vektorfeld erweitern und dann taucht die Jacobi-Matrix auf, die Du in Deinem ersten Beitrag bereits genannt hattest.
Eine ähnliche Duskussion mir recht guten Tipps gab es hier schon mal im März, hoffentlich hilft Dir dieser Link etwas weiter.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
