Richtungsableitung Vektorfeld < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Di 23.03.2010 | | Autor: | Fael |
| Aufgabe 1 | Betrachtet sei die Vektorfunktion:
f(r) = [mm] \bruch{1}{ | r |^2 }*\vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm] wobei [mm] r=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] gilt.
Berechnen Sie die Ableitung von f im Punkt P(1,1,1) in Richtung des Gradienten von f. |
| Aufgabe 2 | Betrachtet sei die Vektorfunktion:
f(r) = [mm] \bruch{1}{ | r |^2 }*\vektor{2 \\ 1 \\3} [/mm] wobei [mm] r=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] gilt.
Berechnen Sie die Ableitung von f im Punkt P(1,1,1) in Richtung des Vektors [mm] v=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Hi,
zu A1)
also gesucht ist ja die Ableitung in Richtung des Gradienten von f. Entweder ich hab nicht Verstanden was ein Gradient ist oder die Aufgabe ist so nicht lösbar. Ein Gradient ist doch ein Vektorfeld das sich ergibt wenn man eine Skalarwertige Funktion f(x,y) mit Hilfe des Nabla-Operators Ableitet. Dieses Vektorfeld was sich daraus ergibt zeigt dann in richtung der größten änderung der Skalarwertigen Funktion. Hier ist nun nach Aufgabenstellung der Gradient eines Vektorfeldes gefragt, hoffe da kann mir jemand helfen wie das geht?
zu A2)
Hier ist nun die Richtung in die Abgeleitet werden soll der Vektor "v". Nun habe ich eine Frage zur Richtungsableitung eines Vektorfeldes. Bei Skalarfeldern f(x,y) ist das ja einfach nur der Gradient mal die Richtung (Vektor). Aber wie ist dies bei Vektorfeldern? Die Ableitung von f wäre ja mit der Jakobi-Matrix möglich. Müsste ich dort dann den Punkt einsetzen und diese 3*3 Matrix dann mit dem vorgegebenen Richtungsvektor multiplizieren?
Gruß Fael
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:27 Di 23.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> zu A1)
>
> also gesucht ist ja die Ableitung in Richtung des
> Gradienten von f. Entweder ich hab nicht Verstanden was ein
> Gradient ist oder die Aufgabe ist so nicht lösbar. Ein
> Gradient ist doch ein Vektorfeld das sich ergibt wenn man
> eine Skalarwertige Funktion f(x,y) mit Hilfe des
> Nabla-Operators Ableitet. Dieses Vektorfeld was sich daraus
> ergibt zeigt dann in richtung der größten änderung der
> Skalarwertigen Funktion. Hier ist nun nach Aufgabenstellung
> der Gradient eines Vektorfeldes gefragt, hoffe da kann mir
> jemand helfen wie das geht?
Du hast Recht. Den Gradienten kann man nur von skalaren Funktionen bilden. Diese Aufgabe ist also falsch gestellt.
>
> zu A2)
> Hier ist nun die Richtung in die Abgeleitet werden soll
> der Vektor "v". Nun habe ich eine Frage zur
> Richtungsableitung eines Vektorfeldes. Bei Skalarfeldern
> f(x,y) ist das ja einfach nur der Gradient mal die Richtung
> (Vektor). Aber wie ist dies bei Vektorfeldern? Die
> Ableitung von f wäre ja mit der Jakobi-Matrix möglich.
> Müsste ich dort dann den Punkt einsetzen und diese 3*3
> Matrix dann mit dem vorgegebenen Richtungsvektor
> multiplizieren?
Ja.
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Di 23.03.2010 | | Autor: | Fael |
puh, zum Glück alles richtig Verstanden ^^
Danke für die schnelle Antwort, wie immer sehr zuverlässig :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 23.03.2010 | | Autor: | Fael |
Hmm,
also so wie das scheint gibt es wohl doch so etwas wie einen Gradienten einer Vektorfunktion, weiß einer wie man sich das Vorstellen kann?
zu A1) Das würde für die Aufgabe bedeuten ich bilde zunächst den Vektorgradienten dieser ist analog zur Jacobi Matrix zu bilden zumindest nach wiki, und die Ableitung der Funktion im Punkt P (die Ableitung ist gleich dem Vektorgradienten?) mit der Ausnahme das der Punkt eingesetzt wird. Und am ende multipliziere ich dann die beiden 3*3 Matrizen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 23.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hmm,
> also so wie das scheint gibt es wohl doch so etwas wie
> einen Gradienten einer Vektorfunktion, weiß einer wie man
> sich das Vorstellen kann?
Das ist das totale Differential, in Komponenten also die Jacobimatrix.
> zu A1) Das würde für die Aufgabe bedeuten ich bilde
> zunächst den Vektorgradienten dieser ist analog zur Jacobi
> Matrix zu bilden zumindest nach wiki, und die Ableitung der
> Funktion im Punkt P (die Ableitung ist gleich dem
> Vektorgradienten?) mit der Ausnahme das der Punkt
> eingesetzt wird. Und am ende multipliziere ich dann die
> beiden 3*3 Matrizen?
Ich verstehe diese Aufgabe auch nicht, denn es ist nicht klar, was mit der "Richtung des Gradienten von [mm] $\underline{f}$" [/mm] gemeint ist. Oder soll das "die Richtung von [mm] $\underline{f}$" [/mm] sein?
Zur Berechnung des Vektorgradienten: die Richtung von [mm] $\underline{f}$ [/mm] ist ja konstant (von r abhängiger Vorfaktor mal konstanter Vektor). Damit sind die drei Komponenten von [mm] $\underline{f}$ [/mm] gleich und die Jacobimatrix besteht aus drei gleichen Zeilen.
Um daraus den "Gradienten in Richtung eines Vektors v" zu berechnen, nimmst du die Jacobimatrix mit dem Vektor v mal.
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:14 Di 23.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > zu A1)
> >
> > also gesucht ist ja die Ableitung in Richtung des
> > Gradienten von f. Entweder ich hab nicht Verstanden was ein
> > Gradient ist oder die Aufgabe ist so nicht lösbar. Ein
> > Gradient ist doch ein Vektorfeld das sich ergibt wenn man
> > eine Skalarwertige Funktion f(x,y) mit Hilfe des
> > Nabla-Operators Ableitet. Dieses Vektorfeld was sich daraus
> > ergibt zeigt dann in richtung der größten änderung der
> > Skalarwertigen Funktion. Hier ist nun nach Aufgabenstellung
> > der Gradient eines Vektorfeldes gefragt, hoffe da kann mir
> > jemand helfen wie das geht?
>
> Du hast Recht. Den Gradienten kann man nur von skalaren
> Funktionen bilden. Diese Aufgabe ist also falsch gestellt.
Das ist so nicht richtig. Der Gradient lässt sich ohne weiteres auf Vektorfunktionen (oder Tensorfunktionen) verallgemeinern. Der Gradient eines Vektorfeldes ist in Korrdinatendarstellung die Jacobimatrix. In der Mathematik sagt man dazu nicht Gradient, in der Physik schon.
Im Übrigen ist der Begriff "skalare Funktion" hier problematisch: du meinst eine Funktion mit Werten in [mm] $\IR$. [/mm] Eine skalare Funktion im engeren (physikalischen) Sinne ist eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften unter Koordinatentransformationen (z.B. Invarianz unter Drehungen).
Viele Grüße
Rainer
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Vektorgradient