Differenzierbarkeit von Fkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) f ist definiert für alle [mm] x\in \IR [/mm] und es gilt [mm] |f(x)-f(y)|\le (x-y)^2 [/mm] für alle reelen x und y. Beweise, das f konstant ist.
b) f ist für jedes x>0 definiert, differenzierbar und es gelte [mm] f´(x)\to [/mm] 0 für x [mm] \to +\infty [/mm] Setze g(x)= f(x+1)-f(x)
Beweise, das g(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to +\infty [/mm] |
Kann mir hier jemand Tipps geben, wie ich die Aufgabe beweisen soll? ich weiß, das eine Funktion konstan ist, wenn z.B. f(x)=g(x) ist, aber ich komme irgendwie nicht drauf, das [mm] |f(x)-f(y)|\le (x-y)^2. [/mm]
auch bei der zwieten aufgabe fehlt mir der Anfang. ich muss ja irgendiwe zeigen, dass f´(x) = g(x) oder?
Gruß,
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 03.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) f ist definiert für alle [mm]x\in \IR[/mm] und es gilt
> [mm]|f(x)-f(y)|\le (x-y)^2[/mm] für alle reelen x und y. Beweise,
> das f konstant ist.
>
> b) f ist für jedes x>0 definiert, differenzierbar und es
> gelte [mm]f´(x)\to[/mm] 0 für x [mm]\to +\infty[/mm] Setze g(x)=
> f(x+1)-f(x)
> Beweise, das g(x) [mm]\to[/mm] 0 für x [mm]\to +\infty[/mm]
> Kann mir hier
> jemand Tipps geben, wie ich die Aufgabe beweisen soll? ich
> weiß, das eine Funktion konstan ist, wenn z.B. f(x)=g(x)
> ist,
Das ist doch Quatsch. f ist konstant, wenn f(x) = f(z) für jedes x und z aus dem Def. -bereich von f
Zur Aufgabe a): Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Nach Vor. ist
[mm] $|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| \le |x-x_0|$ [/mm] für x [mm] \not= x_0
[/mm]
Nun lass mal x [mm] \to x_0 [/mm] gehen. Was kannst Du über die Differenzierbarkeit von f in [mm] x_0 [/mm] sagen, und über die Größe von [mm] f'(x_0) [/mm] ?
> aber ich komme irgendwie nicht drauf, das
> [mm]|f(x)-f(y)|\le (x-y)^2.[/mm]
>
> auch bei der zwieten aufgabe fehlt mir der Anfang. ich muss
> ja irgendiwe zeigen, dass f´(x) = g(x) oder?
Nein . Tipp: Drücke die Differenz $f(x+1)-f(x)$ mit Hilfe des Mittelwertsatzes aus.
Ich predige meinen Studenten immer: wenn Ihr die Differenz zweier Funktionswerte vor der Nase habt, so denkt an den Mittelwertsatz.
Nie vergessen ! oft zahlt es sich aus (wie oben)
FRED
>
>
> Gruß,
> mathegirl
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also dazu habe ich eine Frage. Hab die gleiche Aufgabe gestellt, aber der Thread ist plötzlich einfach verschwunden.
Also
eine konstante Funktion ist definiert als : f(x)=c, [mm] c\in\IR
[/mm]
außerdem gilt: f'(x)=0.
[mm] |\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| \le |x-x_0|,ok.
[/mm]
Da hast du einfach y=xo gesetzt.
Aber wenn du ja x gegen xo streben lässt,kann man ja für xo noch alles einsetzen, aber das x wird ja dann so gewählt, dass es gegen xo strebt, also ganz nach an xo liegt.
Das versteh ich nicht,wieso dann der Quotienten dennoch für alle xo und x gilt.
es gilt ja : f'(x)=0, daher gilt :
[mm] 0\le |x-x_0|
[/mm]
Da ja x gegen xo stebt, bekommt man ja: 0<=0 raus....
mhm....
und eine Frage zum Mittelwertsatz: Wir wissen doch nicht, ob die Funktion stetig ist. Kann man den Mittelwertsatz dann trotzdem anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roxas_Roxas!
> Hab die gleiche Aufgabe gestellt, aber der Thread ist plötzlich einfach
> verschwunden.
Siehe mal hier ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Aussage ist nur, dass für ein beliebiges [mm] x_0 f'(x_0) [/mm] =0 ist, weil ja [mm] f'(x_0) [/mm] definiert ist als
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| [/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Robbe007 |
Vorraussetzung ist ja das die funktion differenzierbar ist also ist sie auch stetig, aber ich komme trotz mittelwertsatz nicht weiter... ???
LG Robbe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 03.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vorraussetzung ist ja das die funktion differenzierbar ist
> also ist sie auch stetig, aber ich komme trotz
> mittelwertsatz nicht weiter... ???
Meinst Du Aufgabenteil b) ? Wenn ja, nochmal:
Drücke die Differenz $ f(x+1)-f(x) $ mit Hilfe des Mittelwertsatzes aus.
Mach einfach mal
FRED
>
> LG Robbe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Robbe007 |
also meine überlegung ist:
f ist differenzierbar, d.h. nach dem mittelwertsatz gilt im intervall (x,x+1) und (x+1)> x :
[mm] f'(x_0)= \bruch{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} \Rightarrow \bruch{f(x+1)-f(x)}{1} [/mm] =0 da ja f'(x) [mm] \to [/mm] 0
hmm ist das so gemeint? das wäre doch viel zu einfach und die weitere Bedingung/Vorraussetzung dass x [mm] \mapsto \infty [/mm] wird ja garnicht benutzt, das irritiert mich.
LG Robbe
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Also wenn wir das so machen würde, bekommen wir ja raus:
f'(xo)=f(x+1)-f(x)
d.h mit anderen Worten:es gibt ein xo zwischen x und x+1 mit der Eigenschaft, dass die Steigung von f in diesem xo den Wert: f(x+1)-f(x) besitzt.
Nun die Frage: Also müsste es ja so sein, dass weil ja f(x+1)-f(x) die Steigung von f'(xo) mit [mm] xo\in [/mm] [x,x+1] und wir wissen, dass f'(x) gegen 0 strebt und g(x)=f(x+1)-f(x) gilt, dass g(x) gegen 0 strebt.
Nur verstehe ich nicht warum, denn f(x+1) -f(x) ist ja nur die Steigung von mind. einem xo im Intervall [x,x+1] und nicht die gesamte Steigung der Funktion f(x).
Kannst du das vll erklären? Das wäre sehr hilfreich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wir wissen, dass f'(x_=) =0 ist, nicht dass es dagegen strebt!
in einem der älteren posts steht das.
wir haben also f(x+1)=f(x) für alle x
weiter in der anderen Antwort
Gruss leduart
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Ich verstehs irgendwie immernoch nicht ganz:
wenn wir den Mittelwertsatz anwenden, wissen wir doch nur, dass ein "mind. ein xo" gibt, für das die Steigung f(x+1)-f(x) gilt.
Die Funktion kann ja theoretisch auch schwingen oder so.
Das würde ja bedeuten, dass es noch mehr Funktionen mit dieser Steigung gibt.
Ich verstehs einfac noch nicht:(
kannst du das vll in noch einfacheren weise erklären(falls das noch möglich ist)?
die einzige erklärung dir mir verständlich wäre ist, dass, wenn x gegen unendlich strebt und somit f'(x) gegen 0 strebt, somit auch f(x+1)-f(x)=0 gilt, weil das ja zum einen die Steigung in xo ist, welches zwischen x und x+1 liegt und weil wir wissen, dass die steigung von f im unendlichen gegen 0 geht.
und weil g(x)= f(x+1)-f(x) ist, und wir auch das verhalten für x gegen unendlich testen wollen, wissen wir, dass g(x) auch gegen 0 strebt.
ud wie findet ihr das?
danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Ganz von vorne.
Ist x>0, so existiert nach den Mittelwertsatz eine Stelle [mm] \xi_x \in [/mm] (x,x+1) mit:
(*) $g(x) = f(x+1)-f(x) = [mm] f'(\xi_x)$
[/mm]
Geht nun x [mm] \to \infty, [/mm] so geht [mm] \xi_x \to \infty [/mm] (wegen [mm] \xi_x \in [/mm] (x,x+1) ). Nach Vor. strebt dann [mm] f'(\xi_x) \to [/mm] 0 und wegen (*) folgt: g(x) [mm] \to [/mm] 0 ( x [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst jetzt dass gilt f(x+1)=f(x) für alle x
jetzt machs mit x+0.123 dasselbe,
dann mit x+r r ne beliebige Zahl.
(ich versteh nicht was du mit x $ [mm] \mapsto \infty [/mm] $ willst?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Do 04.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
Die anderen Poster sind gerade bei b). Dort gilt im Allgemeinen keineswegs f(x+1)=f(x).
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:10 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) f ist definiert für alle [mm]x\in \IR[/mm] und es gilt
> [mm]|f(x)-f(y)|\le (x-y)^2[/mm] für alle reelen x und y. Beweise,
> das f konstant ist.
>
> b) f ist für jedes x>0 definiert, differenzierbar und es
> gelte [mm]f´(x)\to[/mm] 0 für x [mm]\to +\infty[/mm]
Hier muß es heißen: [mm]f'(x)\to[/mm] 0 für x [mm]\to +\infty[/mm]
FRED
> Setze g(x)=
> f(x+1)-f(x)
> Beweise, das g(x) [mm]\to[/mm] 0 für x [mm]\to +\infty[/mm]
> Kann mir hier
> jemand Tipps geben, wie ich die Aufgabe beweisen soll? ich
> weiß, das eine Funktion konstan ist, wenn z.B. f(x)=g(x)
> ist, aber ich komme irgendwie nicht drauf, das
> [mm]|f(x)-f(y)|\le (x-y)^2.[/mm]
>
> auch bei der zwieten aufgabe fehlt mir der Anfang. ich muss
> ja irgendiwe zeigen, dass f´(x) = g(x) oder?
>
>
> Gruß,
> mathegirl
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