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Hallo,
ich soll in der Aufgabe beweisen, dass es sich um eine konstante Funktion handelt, wenn folgende Ungleichung gilt:
[mm] |f(x)-f(y)|<=(x-y)^{2} [/mm] für alle x und y
Ist es möglich einfach zu sagen: die Funktion ist konstant und somit gilt:
f(x)=f(y)
das bedeutet für die Ungleichung:
[mm] 0<=(x-y)^{2}
[/mm]
Wenn man es löst,kommt das raus:
1. x<=y , 2.x>=y
somit ist die Funktion konstant.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 01.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich soll in der Aufgabe beweisen, dass es sich um eine
> konstante Funktion handelt, wenn folgende Ungleichung
> gilt:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|<=(x-y)^{2}[/mm] für alle x und y
> Ist es möglich einfach zu sagen: die Funktion ist
> konstant und somit gilt:
> f(x)=f(y)
> das bedeutet für die Ungleichung:
> [mm]0<=(x-y)^{2}[/mm]
> Wenn man es löst,kommt das raus:
> 1. x<=y , 2.x>=y
> somit ist die Funktion konstant.
Hallo,
einen Beweis kann man nicht dadurch führen, dass man die (noch unbewiesene) Behaupung eines Satzes als Voraussetzung für einen Beweis dieses Satzes verwendet.
Gruß Abakus
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ok, danke.
aber dann hab ich zu dieser Aufgabe garkeine Idee.
Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Also meine Blickdiagnose: Eine Funktion mit dieser Eigenschaft ist automatisch differenzierbar mit $f'=0$, also ist $f$ konstant.
Gruß, Robert
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mhm,
kannst du das im Detail erklären?
Die Ableitung einer konstanten Funktion ist ja 0.
aber wie soll ich das in diesem beweis nutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Also ich gehe mal davon aus, dass die besagte Funktion [mm]f[/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist und die Ungleichung für alle [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] gilt. Das heißt für jedes feste [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $$-(x-x_0)\le \frac{|f(x)-f(x_0)|}{x-x_0}\le(x-x_0)$$ [/mm] und nach dem "Einschachtelungsprinzip" sieht man nun: [mm] $$f'(x_0):=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0.$$ [/mm] (das ist der entscheidende Schritt, du musst da viele kleine technische Details erklären. Warum existiert der Grenzwert? Warum ist er gleich 0?). Da dieses Argument für jedes [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] funktioniert, erhält man also [mm]f'(x)=0[/mm] für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] also ist $f$ konstant nach dem Mittelwertsatz (warum genau? Was sagt der Mittelwertsatz? Wie folgt damit [mm] $f'=0\Rightarrow [/mm] f=const.$?)
Gruß, Robert
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ok, wenn du das y als xo definiert hast, stimmts ja , aber wieso hast du mit (x-xo) geteilt?
dann müsste ja 1 und -1 stehen und nicht [mm] \pm [/mm] (x-xo) oder?
und beim limes geht das x gegen xo
aber es muss ja für jedes x und jedes y bzw xo gelten und nicht nur für jedes y bzw xo und ein x, das ganz nah dran ist, oder versteh ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was passiert denn, wenn du deine ursprüngliche Ungleichung durch x-y dividierst für die fälle x-y>0 und x-y<0
wo kommt da ne 1?
gruss leduart
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achso, sry.
Da steht ja das quadrat .
ok
Aber trotzdem ist besteht die Frage, warum man den limes benutzt.
Dadurch hat man ja zwar das xo=y aber das x geht gegen xo und ist somit ein bestimmtes x und kein beliebiges wie das y=xo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenns für alle x, y gilt........
sonst nimm halt den Mittelwertsatz
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Di 02.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> sonst nimm halt den Mittelwertsatz
Hmm also ich versteh das nicht so ganz. Man weiß ja erstmal nicht dass $f$ diffbar ist...
Robert
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den mittelwertsatz kann ich doch nur anwenden, wenn ich weiß, dass die funktion und differenzierbar ist.
das ist ja hier nicht angegeben und somit unbekannt oder?
selsame aufgabe ist das. so schwer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> den mittelwertsatz kann ich doch nur anwenden, wenn ich
> weiß, dass die funktion und differenzierbar ist.
Ja.
> das ist ja hier nicht angegeben und somit unbekannt oder?
Aus den Vorraussetzungne herleitbar, wie pelzig es vorgemacht hat.
> selsame aufgabe ist das. so schwer
Ist doch schon viel vorgemacht wurden hier ...
SEcki
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Also ich hab versucht es zu verstehen, aber den einen Schritt verstehe ich nicht.
Wieso darf man x gegen xo streben lassen?
Das xo ist zwar dann beliebig gewählt, nur das x ist durch das xo festgelegt, da es ja sehr nah an xo sein muss. Wieso gilt dennoch: für alle x und xo?
sonst ist es eig klar, da dann x-xo auch 0 ist , weil ja x gegen xo geht und somit f'(x)=0 gilt und somit konstant ist.
kann mir jemand erklären wieso das mit x gegen xo trotz der Bedingungen:(für alle x und xo) gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wieso darf man x gegen xo streben lassen?
Man untersucht den Limes. Das darf man immer, egal was - hat ja nichts mit den Vorraussetzungne zu tun.
> Das xo ist zwar dann beliebig gewählt, nur das x ist
> durch das xo festgelegt, da es ja sehr nah an xo sein muss.
Ja und?
> Wieso gilt dennoch: für alle x und xo?
Die Aussage ist allgemeiner, du benutzt die Aussage für spezielle Paare [m](x,x_0)[/m] bzw. - du setzt [m]x_0[/m] fest, dann betrachtest du den Limes. Da die Aussage für alle Paare gilt, gilt sie auch hier. Oder anders - die Aussage gilt auch für [m]x=1,x_0=5[/m], also [m]|f(1)-f(5)|\ge 16[/m], also wenn du dies einsetzt. Fragts du mich dann auch, warum das gelten soll?
SEcki
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