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| Aufgabe | Lösen Sie die linearen DGL 1.Ordnung
a) [mm] \wurzel{x} [/mm] * y´ -2y + 1 = 0
Ausgesprochen Wurzel x mal y Strich Minus 2 mal y plus 1 gleich Null
2.Aufgabe Lösen sie die DGL durch Trennung der Veränderlichen (Produkttyp)
b) x²y´=(x-1)y
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So bei der ersten Aufgaben denke ich muss ich auch die Veränderlichen wieder trennen. Wäre das dann einmal [mm] \wurzel{x} [/mm] dx und dy/-2y + 1 ???
bei der 2. Aufgabe hab ich nen ähnlichen Ansatz nämlich aber da trenne ich so einmal dy/y und dann (x-1)/ x² dx ist das erstmal richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Lösen Sie die linearen DGL 1.Ordnung
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> a) [mm]\wurzel{x}[/mm] * y´ -2y + 1 = 0
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> Ausgesprochen Wurzel x mal y Strich Minus 2 mal y plus 1
> gleich Null
>
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> 2.Aufgabe Lösen sie die DGL durch Trennung der
> Veränderlichen (Produkttyp)
>
> b) x²y´=(x-1)y
>
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> So bei der ersten Aufgaben denke ich muss ich auch die
> Veränderlichen wieder trennen. Wäre das dann einmal
> [mm]\wurzel{x}[/mm] dx und dy/-2y + 1 ???
>
> bei der 2. Aufgabe hab ich nen ähnlichen Ansatz nämlich
> aber da trenne ich so einmal dy/y und dann (x-1)/ x² dx ist
> das erstmal richtig?
Bei der 1. Aufgabe ein Vorzeichenfehler:
[mm] $\wurzel{x} [/mm] * y' -2y + 1 = 0 $
[mm] $\wurzel{x}* [/mm] y' = 2y - 1 $
[mm] $\integral \bruch{1}{2y-1} \;dy [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{x}}\;dx$
[/mm]
Die 2. Aufgabe ist richtig.
LG, Martinius
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Ok gut also dann integriere ich $ [mm] \integral \bruch{1}{2y-1} \;dy [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{x}}\;dx [/mm] $
und komme auf folgendes ln(2y-1) und 2* [mm] \wurzel{x} [/mm] + k
hoffe das ist auch mal richtig so um das ln wegzubekommen muss ich ja machen mal e
also entsteht dann 2y-1 = [mm] e^{2* \wurzel{x}} +e^k [/mm]
für [mm] e^k [/mm] schreibe ich dann K und bringe mit plus 1 und durch 2 dann alles so das dann da steht y= [mm] (e^{2* \wurzel{x}} [/mm] + K + 1 ) / 2
in der offziellen Lösung folgendes [mm] y=K*e^{4* \wurzel{x}} [/mm] + 1/2
wo mache ich denn meinen Fehler?
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Hallo Scotty,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ok gut also dann integriere ich [mm]\integral \bruch{1}{2y-1} \;dy = \integral \bruch{1}{\wurzel{x}}\;dx[/mm]
>
> und komme auf folgendes ln(2y-1) und 2* [mm]\wurzel{x}[/mm] + k
Auf der linken Seite fehlt noch der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] (wegen [mm] ($\red{2}*y$ [/mm] ).
> also entsteht dann 2y-1 = [mm]e^{2* \wurzel{x}} +e^k[/mm]
Hier wendest Du ein vermeintliches  Potenzgesetz auf der rechten Seite falsch an. Es muss heißen:
$$... \ = \ [mm] e^{2*\wurzel{x}+k} [/mm] \ = \ [mm] e^{2*\wurzel{x}} [/mm] \ [mm] \red{\times} [/mm] \ [mm] e^k$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Scotty123 |
Ok danke für die Hilfe :)
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So Aufgabe 2 also dy/y und (x-1)/x² dx ist also richtig
gut dann versuchte ich das zu integrieren
dy/y=lny
(x-1)/x² dx= 1/x
also lny=1/x dann mal e damit das ln wegkommt [mm] y=e^{1/x} [/mm] so die Lösung ist auch fast richtig ... aber in der offziellen Lösung steht das so [mm] y=Cx*e^{1/x}
[/mm]
woher kommt da so plötzlich das Cx??
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Hallo Scotty!
> So Aufgabe 2 also dy/y und (x-1)/x² dx ist also richtig
>
> gut dann versuchte ich das zu integrieren
>
> dy/y=lny
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (x-1)/x² dx= 1/x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst hier zerlegen: [mm] $\bruch{x-1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{x^2}-\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}-x^{-2}$ [/mm] .
Nun integrieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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Stimmt hab ich irgendwie übersehen ... also integrieren ich dann
1/x - x^-2 und ich denke das integriert ist dann lnx + 1/x oder??
so dann heißt es
lny = lnx + 1/x hoffe mal das es richtig so ... ok e hoch machen
y=x + [mm] e^{1/x} [/mm] aber irgendwie ist das leider immer noch nich richtig ... in der Lösung steht y = Cx * [mm] e^{x/1} [/mm]
ich mache das mit den DGL heute zum ersten mal ... wo kommt das Cx her?? und wohin verschwindet das erste x in der Gleichung y=x + [mm] e^{1/x} [/mm] ?
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Hallo Scotty,
> Stimmt hab ich irgendwie übersehen ... also integrieren ich
> dann
>
> 1/x - x^-2 und ich denke das integriert ist dann lnx + 1/x
> oder??
Bis auf die Integrationskonstante.
>
> so dann heißt es
>
> lny = lnx + 1/x hoffe mal das es richtig so ... ok e hoch
> machen
>
> y=x + [mm]e^{1/x}[/mm] aber irgendwie ist das leider immer noch
> nich richtig ... in der Lösung steht
>
> y = Cx * [mm]e^{x/1}[/mm]
Muß das nicht [mm]y=Cx \ e^\bruch{1}{x}[/mm] heißen?
> ich mache das mit den DGL heute zum ersten mal ... wo kommt
> das Cx her?? und wohin verschwindet das erste x in der
> Gleichung y=x + [mm]e^{1/x}[/mm] ?
>
C ist eine Konstante und kommt von der Integration her.
Beispiel:
[mm]\integral_{}^{}{1\ dx}=x+C_1[/mm]
Eine Stammfunktion zu [mm]f\left ( x \right )=1[/mm] kann sowohl [mm]F\left ( x \right )=x[/mm] als auch [mm]F\left ( x \right )=x+1[/mm] sein, da die Ableitung von Konstanten stets 0 ist.
Gruß
MathePower
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ja stimmt das Ergebnis ist $ y=Cx \ [mm] e^\bruch{1}{x} [/mm] $
ach so also ist mein Integral dann lnx + 1/x + C
also y=x + [mm] e^{1/x} [/mm] + [mm] e^{C} [/mm]
sorry das ich mich so doof anstelle aber das ist nich im entferntesten so wie die Lösung y= Cx * [mm] e^{1/x} [/mm] weil C bei mir ja immer noch e hoch C ist und das kriege ich ja nicht so einfach runter und das x steht nach dem Gleichheitszeichen auch noch ... muss ich das irgendwie noch umformen wenn ja dann bitte sagst mir mal ich steh total aufm Schlauch
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Hallo Scotty,
> ja stimmt das Ergebnis ist [mm]y=Cx \ e^\bruch{1}{x}[/mm]
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> ach so also ist mein Integral dann lnx + 1/x + C
Jo
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> also y=x + [mm]e^{1/x}[/mm] + [mm]e^{C}[/mm]
Nein, siehe Logarithmusgesetze.
>
> sorry das ich mich so doof anstelle aber das ist nich im
> entferntesten so wie die Lösung y= Cx * [mm]e^{1/x}[/mm] weil C bei
> mir ja immer noch e hoch C ist und das kriege ich ja nicht
> so einfach runter und das x steht nach dem
> Gleichheitszeichen auch noch ... muss ich das irgendwie
> noch umformen wenn ja dann bitte sagst mir mal ich steh
> total aufm Schlauch
Es ist [mm]\ln \left ( y \right )=\ln \left ( x \right ) + \bruch{1}{x} + C[/mm]
Nun wenden wir die die Exponentialfunktion auf beiden Seiten an:
[mm]e^{\ln \left ( y \right )}=y=e^{\ln \left ( x \right ) + \bruch{1}{x} + C}=e^{\ln \left ( x \right )} * e^{\bruch{1}{x}} * e^{C}=e^{C}*e^{\ln \left ( x \right )}*e^{\bruch{1}{x}}=e^{C}*x*e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
Also steht dann da: [mm]y=e^{C}*x*e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
Definieren wir nun [mm]C_1:=e^{C}[/mm] so ergibt sich [mm]y=C_{1}*x*e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Scotty123 |
Oh man da hab ich mich schon etwas dämlich angestellt ... danke für Lösungshinweise
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