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innerer_Automorphismus
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innerer Automorphismus

!!Definition ''innerer Automorphismus"


Universität

Es sei $ G $ eine Gruppe und $ Aut(G) $ ihre Automorphismengruppe.

Für jedes $ x \in G $ kann man einen Automorphismus $ \varphi_x $ wie folgt angeben:

$ \varphi_x : \begin{array}{ccc} G & \to & G \\[5pt] y & \mapsto & \varphi_x(y):=xyx^{-1} \end{array} $ .

Wegen

$ \varphi_x(yz)= xyzx^{-1} = xyx^{-1}xzx^{-1} = \varphi_x(y) \varphi_x(z) $

ist $ \varphi_x $ ein Homomorphismus. Aus

$ \varphi_x \circ \varphi_{x^{-1}} = \varphi_{x^{-1}} \circ \varphi_x = Id $

ersieht man, dass $ \varphi_x $ sogar ein Automorphismus ist.

Ein Element $ \varphi \in Aut(G) $ heißt ein innerer Automorphimus, wenn es ein $ x \in G $ gibt mit $ \varphi = \varphi_x $.

Elemente $ a,\, b \in G $ heißen konjugiert, wenn es ein $ x \in G $ gibt mit

$ \varphi_x(b) = xbx^{-1}=a $.


Siehe auch: Zentrum


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Do 18.08.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Do 18.08.2005 um 20:21 von Stefan
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