e-Funktion AufgabeQuelle: hier und hier
Für jedes t > 0 ist eine Funktion  gegeben durch
Der Graph von sei  .
a) Untersuchen Sie auf Schnittpunkte mit der x - Achse, auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie
auf Asymptoten. Zeichen Sie  für  . (Längeneinheit 1 cm)
b) Es sei S der Schnittpunkt der Kurve mit der y-Achse. Die Kurventangente in S, die
Kurvennormale in S und die x - Achse bilden ein Dreieck.
Für welchen Wert von t wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten?
Zeigen Sie, dass das Dreieck mit dem kleinsten Inhalt gleichschenklig ist.
c ) Die x - Achse und die Kurve begrenzen eine längs der negativen x - Achse ins Unendliche
reichende Fläche.
Zeigen Sie, dass die Gerade y = 3 diese Fläche in einem von t unabhängigen Verhältnis teilt.
d) Zu jedem t > 0 ist eine Funktion  gegeben durch  .
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D(g).
Der Graph von sei  .
Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von und .
Es sei u eine für alle  differenzierbare Funktion mit  für alle .
Die Funktion v ist für alle definiert durch u(x)*v(x) = 1.
Zeigen Sie, dass u'(x)*v'(x) für alle nicht positiv ist.
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