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Quotientenkriterium
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Quotientenkriterium

Satz Quotientenkriterium


Universität


Voraussetzungen und Behauptung


Bemerkungen.


Beispiele.

Nun ein paar Beispiele zum Quotientenkriterium:

1) Gegeben sei die Reihe $ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} $

Wir wollen also nachweisen, dass dieses Reihe absolut konvergiert.

Lösung:

Existiert ein $ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| $

dann konvergiert die Reihe
$ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}=\begin{cases} absolut, & \mbox{für } q<1 \\ divergiert, & \mbox{für } q>1 \end{cases} $

Nun wird eingesetzt und ein wenig gerechnet:

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(n+1)!\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}\cdot n!}\right| $

ich habe also den Doppelbruch vereinfacht.

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n!\cdot(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^n\cdot (n+1)\cdot n!}\right| $

Bemerkung:
Es gilt: $ (n+1)!=n!\cdot (n+1) $

Nun kann man ein wenig kürzen und erhält:

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n^n}{(n+1)^n}\right|=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n $

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n\cdot (1+\frac{1}{n})}\right)^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{ 1+\frac{1}{n}}\right)^n $

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\right) $

Nun weiß man aus der Vorlesung das folgendes gilt:

$ \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e $

$ \Rightarrow q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{e}\right) $

Wir haben also $ q:=\frac{1}{e}<1 $

$ \Rightarrow $ Die Reihe $ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} $ ist absolut konvergent

Ich werde nach und nach weitere Beispiele hinzufügen.



Beweis.


Erstellt: Di 21.12.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mo 10.12.2007 um 19:56 von crashby
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