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Monotonieuntersuchung
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Monotonieuntersuchung

Wie untersuche ich die Monotonie einer Funktion?

Gib das Monotonieverhalten der Funktion f in Abhängigkeit von den Parametern a, b (ungleich 0) an.

a) f(x)= $ a\cdot{}x^n $
b) $ f(x)=\bruch{a}{x} $
c) $ f(x)=a\cdot{}\wurzel{x}+x $
d) $ f(x)=a\cdot{}\wurzel{x}+\bruch{b}{x} $

Monoton steigend in einem bestimmten Intervall ist eine Funktion genau dann, wenn ihre erste Ableitung in diesem Intervall größer gleich Null ist.
Analog dazu ist sie in einem Intervall genau dann monoton fallend, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall nur Werte kleiner gleich Null annimmt.
Du musst also die Ableitungen der dir gegebenen Funktionen bestimmen und prüfen, wann diese positiv und wann negativ sind.
Dabei musst du das Ganze in Abhängigkeit von a durchführen.

Ich zeige dir mal an der ersten Funktion, wie das funktioniert.

Es ist $ f:\IR\to\IR $ $ x\mapsto a\cdot x^n $ (ich nehme im Folgenden $ n\in\IN $ an).
Dann ist $ f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1} $. So, für $ x\geq 0 $ ist $ x^{n-1}\geq 0 $.
Ist zudem $ a\geq 0 $, so folgt $ f'(x)\geq 0 $ für alle $ x\geq 0 $.
Die Funktion ist also für $ x,a\geq 0 $ im Intervall $ [0,\infty) $ monoton steigend.
Ist hingegen $ a\leq 0, x\geq 0 $, so folgt $ n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq 0 $, die Funktion ist also im Intervall $ [0,\infty) $ monoton fallend.

Betrachten wir nun diejenigen $ x\in\IR $ mit $ x\leq 0 $ und nehmen wir an, n sei ungerade, n-1 daher gerade.
Dann ist $ x^{n-1}\geq 0 $ und, wie vorher, die Funktion f für $ a\geq 0 $ im Intervall $ (-\infty,0] $ streng monoton steigend, für $ a\leq 0 $ im Intervall $ (-\infty,0] $ streng monoton fallend.

Ist hingegen n gerade und damit n-1 ungerade, so ist für $ x\leq 0 $ auch $ x^{n-1}\leq 0 $; dann ist f für $ a\leq 0 $ im Intervall $ (-\infty,0] $ monoton steigend, denn es ist $ n\cdot a\cdot x^{n-1}\geq 0 $ (denn es ist $ a,x\leq 0 $ und n-1 ungerade), für $ a\geq 0 $ jedoch im Intervall $ (-\infty,0] $ monoton fallend, denn dann ist $ n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq 0 $ (denn es ist $ a\geq 0, x\leq 0 $).

Für die anderen Funktionen sollte man selbst versuchen, die analogen Überlegungen anzustellen.
Bei Fragen kann man den [link]Matheraum befragen.

Letzte Änderung: Sa 21.05.2005 um 15:25 von informix
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