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Menge
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Menge

Definition Menge

Zahlen oder andere unterscheidbare Objekte werden in der Mathematik zu einer Menge zusammengefasst.


Beispiele

aufzählende Form:$ M = \{3,6,9,12\} $

beschreibende Form:  $ M = \{x \in \IR| x= 3y \wedge 0<y<5\} $


Definition Teilmenge

Werden aus einer Menge $ M = \{3,6,9,12\} $ einige Elemente zu einer neuen Menge $ N = \{3,12\} $ zusammengefasst, so nennt man N eine Teilmenge von M und schreibt: $ N \subset M $.
Die leere Menge ist per Definition stets Teilmenge jeder anderen Menge: $ \{ \} \subset M $.
Jede Menge ist aber auch Teilmenge von sich selbst: $ M \subset M $.

$ \wedge $ bedeutet: "und zugleich"


Bezeichnung

Die Menge, die kein Element enthält heißt leere Menge und wird mit $ \{ \} $ oder mit $ \emptyset $ bezeichnet.


Durchschnitt

Unter dem Durchschnitt (der Schnittmenge) von zwei Mengen versteht man die Menge der Elemente, die in beiden Mengen zugleich enthalten sind (in A und B):
Seien $ A=\{1,2,3,4\} $ und $ B=\{2,4,5,6\} $ gegeben, dann ist $ A\cap B=\{2,4\} $ der Durchschnitt (die Schnittmenge) der beiden Mengen.


Vereinigung

Unter der Vereinigung von zwei Mengen versteht man die Menge der Elemente, die in (mind.) einer der beiden Mengen enthalten sind (in A oder B):
Seien $ A=\{1,2,3,4\} $ und $ B=\{2,4,5,6\} $ gegeben, dann ist $ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\} $ der Vereinigung der beiden Mengen.


siehe auch: [link]Wikipedia

Universität

Naive Betrachtungen:

Es werden im allgemeinen mit großen Buchstaben $ A,\, B,\, X,\, Y, \ldots $ Mengen und mit kleinen Buchstaben $ a,\, b,\, x,\, y,\ldots $ Elemente aus Mengen bezeichnet. Eine endliche Menge A wird vorzugsweise durch Angabe aller ihrer Elemente beschrieben, $ A=\{a_1,\, a_2, \ldots,a_n\} $. Sehr üblich ist auch die Charakterisierung einer Menge X durch Angabe einer Eigenschaft E, die genau allen Elementen von X zukommt,

$ X=\{x \, \vert\, x\ \ \mbox{\scriptsize hat die Eigenschaft}\ E\} $

Die leere Menge wird mit $ \emptyset $ bezeichnet.

Ist ein Objekt x Element einer Menge A (kürzer: x ist in A, bzw. x ist aus A), dann bezeichnen wir das durch $ x \in A $, gelegentlich auch $ A \ni x $. Andernfalls, also wenn x nicht in A ist, schreiben wir $ x \notin A $.

$ A \subseteq B $ bedeutet, dass A eine Teilmenge von B ist, d.h. jedes x aus A ist auch in B. $ B \supseteq A $ bedeutet dasselbe wie $ A \subseteq B $.

Die Gleichheit von Mengen, A=B, ist durch $ A \subseteq B $ und $ B \subseteq A $ definiert. Um also A=B nachzuweisen, ist stets zu zeigen: $ x \in A \Leftrightarrow x \in B $.

Ist A eine echte Teilmenge von B, d.h. $ A \subseteq B $, aber $ A \ne B $, dann kennzeichnen wir das durch $ A \subset B $. Man achte sorgfältig auf den Unterschied der Zeichen $ \in $, $ \subseteq $ und $ \subset $. Es ist $ x \in A \Leftrightarrow \{x\} \subseteq A $, außerdem ist bei $ A \subseteq B $ durchaus A=B möglich, bei $ A \subset B $ gibt es ein $ b \in B $, das nicht in A liegt, $ b \notin A $.

Natürlich können auch Mengen als Elemente in einer Menge vorkommen, so in der Potenzmenge P(A) einer Menge A. Es ist

$ P(A):=\{B\, \vert \, B \subseteq A\} $.

Ist $ {\cal M} $ eine Menge von Mengen, dann bezeichnen wir den Durchschnitt alles Mengen aus $ {\cal M} $ mit

$ \bigcap\limits_{{\cal M}} = \bigcap\limits_{A \in {\cal M}} A = \{x \, \vert \,x \in A \ \mbox{\scriptsize für alle} \ A \in {\cal M}\} $.

Entsprechend für die Vereinigung

$ \bigcup\limits_{{\cal M}}= \bigcup\limits_{A \in {\cal M}}A = \{x \, \vert \, x \in A \ \mbox{\scriptsize für wenigstens ein} \ A \in {\cal M}\} $.

Ist $ {\cal M} $ endlich, $ {\cal M}=\{A_1,\ldots,A_n\} $, dann sind auch die Bezeichnungen $ \bigcap\limits_{i=1}^n A_i = \bigcap\limits_{1 \le i \le n}A_i = A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n $ üblich. Für die Vereinigung gilt das analog.

Im Falle $ X \cap Y = \emptyset $ heißen X und Y disjunkt.

Als relatives Komplement von B in A wird die Menge

$ A \setminus B =\{x \in A\, \vert \, x \notin B\} $

bezeichnet.

Das direkte oder cartesische Produkt der Mengen $ A_1,\ldots,A_n $ ist

$ A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n =\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)\, \vert \, a_i \in A_i \ (1 \le i \le n)\} $,

wobei darauf zu achten ist, dass $ (a_1,\ldots,a_n)=(b_1,\ldots,b_n) $ genau dann gilt, wenn $ a_i=b_i $ $ (1 \le i \le n) $.

Falls $ A_i=A $ gilt für alle i $ (1 \le i \le n) $, dann schreiben wir für das Produkt auch $ A^n $

$ A^n = A \times A \times \ldots \times A $   (n Faktoren).

Die Mächtigkeit einer Menge A wird mir $ \vert A\vert $ bezeichnet. Also $ \vert A \vert=n $, wenn A aus n (verschiedenen) Elementen besteht.

Es ist

$ |A_1 \times A_2| = |A_1| \cdot |A_2| $,

und für die Potenzmenge P(A) von A gilt:

$ |P(A)|=2^{|A|} $.

Für die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null), natürlichen Zahlen zusammen mit der Null, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen werden die folgenden Standardbezeichnungen verwendet:

$ \IN, \, \IN_0,\, \IZ,\, \IQ,\, \IR,\, \IC $.


Quelle: isbn3446130799

Attribute von Mengen:

abgeschlossen
abzählbar
beschränkt
dicht
endlich
leer
kompakt
messbar: Wenn sie in der Sigma-Algebra eines Messraumes enthalten ist.
offen
perfekt: Eine Teilmenge von $ \IR $ heißt perfekt, wenn sie gleich der Menge ihrer Häufungspunkte ist.
überabzählbar: nicht abzählbar
unendlich
zusammenhängend

Erstellt: Sa 30.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Mi 01.10.2008 um 21:18 von Marc
Weitere Autoren: Marcel, Stefan
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