www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Cramersche_Regel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Cramersche Regel

Cramersche Regel

Sei $ A $ eine $ (n\times n) $-Matrix. Falls $ det(A)\neq0, $ existiert eine explizite Determinantenformel für die Lösung $ x $ eines gegebenen Gleichungssystems $ Ax=b $.

$ Ax=b $ lässt sich als Linearkombination der Spalten der Matrix mit Koeffizienten $ x_1,...,x_n $ schreiben:

$ x_1\vektor{a_{11}\\ \vdots\\a_{n1}}+...+x_n\vektor{a_{1n}\\ \vdots\\a_{nn}}=\vektor{b_1\\ \vdots\\ b_n} $

Mittels Subtraktion des Vektors $ b $ von dem i-ten Summanden folgt:

$ x_1\vektor{a_{11}\\ \vdots\\a_{n1}}+...+\vektor{x_ia_{1i}-b_1\\ \vdots\\x_ia_{ni}-b_n}+...+x_n\vektor{a_{1n}\\ \vdots\\a_{nn}}=\vektor{0\\ \vdots\\ 0} $

Die Spalten der zugehörigen Matrix

$ \pmat{a_{11}&...&x_ia_{1i}-b_1&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&x_ia_{ni}-b_n&...&a_{nn}} $

sind also linear abhängig und die Determinante somit Null. Mit der Eigenschaft der Linearität der Determinante folgt:

$ x_i\cdot det\pmat{a_{11}&...&a_{1i}&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&a_{ni}&...&a_{nn}}-det\pmat{a_{11}&...&b_1&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&b_n&...&a_{nn}}=0 $

Damit ist folgendes evident:


Satz

Ist $ det(A)\neq0 $ und $ Ax=b $, dann gilt für $ i=1,...,n $:

$ x_i= \frac{det\pmat{a_{11}&...&b_1&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&b_n&...&a_{nn}}}{det\pmat{a_{11}&...&a_{1i}&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&a_{ni}&...&a_{nn}}} $



Beispiel

Betrachte das lineare Gleichungssystem

                                                                 $ 5x_1-3x_2=-1 $
                                                                 $ 2x_1+1x_2=4 $

Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist

                                                                 $ \left(\begin{array}{cc|c} 5 & -3 & -1\\ 2 & 1 & 4 \end{array}\right) $.

Nach der Cramerschen Regel gilt:

                                                                 $ x_1=\frac{\vmat{ -1 & -3 \\ 4 & 1 }}{\vmat{ 5 & -3 \\ 2 & 1 }}=\frac{11}{11}=1 $

                                                                 $ x_2=\frac{\vmat{ 5 & -1 \\ 2 & 4 }}{\vmat{ 5 & -3 \\ 2 & 1 }}=\frac{22}{11}=2 $

Wie das Beispiel zeigt ist die Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen Regel recht unpraktisch. Sie ist vielmehr im Hinblick auf den Zusammenhang der Veränderung von $ A $ und $ b $ und der Lösung $ x $ interessant. Sie stellt somit ein wichtiges Instrument zur Untersuchung der durch $ (A,b)\mapsto x $ definierten Abbildung $ \{A\in Mat(n\times n,\IK)|det(A)\neq0\}\times \IK^n\to\IK^n $ dar.



Literatur

isbn9783540592235 K. Jänich: Lineare Algebra.

Letzte Änderung: Mo 29.09.2014 um 13:41 von Ladon
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]