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Binomialverteilung
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Binomialverteilung

Definition Binomialverteilung (Bernoulli-Verteilung)


Schule

Eine Zufallsvariable $ X $ heißt binomialverteilt zu den Parametern $ n,p $ mit $ n\in\IN $, $ 0\le p\le 1 $, wenn

$ P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} $

für alle $ k=0,1,2,\ldots,n $ und $ P(X=k)=0 $ sonst. Fuer $ n=1 $ resultiert die Bernoulli-Verteilung.

Soll die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich $ \{0 \le X \le x \le n\} $ berechnet werden, benutzt man die Summenformel:

$ P(X\le x) = \sum_{k=0}^{x}\vektor{n\\k} p^k (1-p)^{n-k} $



Siehe auch [link]Wikipedia


Universität

$ 0\le p\le 1 $, $ q:=1-p $
Für alle $ n\in\IN $ definiert

$ B(n;p):=\beta_n^p:=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p^k q^{n-k} \varepsilon_k $

eine diskrete Verteilung auf $ \mathcal{B}^1 $. Man nennt $ B(n;p)=\beta^p_n $ Binomialverteilung zu den Parametern $ n $ und $ p $.
Für $ n=1 $ erhält man die Bernoulli-Verteilung .




Für eine binomialverteilte Zufallsvariable gilt:

$ E(X)=np $ (Erwartungswert)
$ V(X)=npq $ (Varianz)

Beweis.
$ B(n;p) $ ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, da $ \sum_{k=0}^n {n \choose k} p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1 $ nach dem binomischen Lehrsatz.

$ \begin{array}{rcl} E(X) & = & \summe_{k=0}^n k\cdot{}{n \choose k} p^k q^{n-k} \\ & = & \summe_{k=1}^n k\cdot{}\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!} p^k q^{n-k} \\ &=&\summe_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!\cdot{}(n-k)!} p^k q^{n-k} \\ &=&\summe_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{k!\cdot{}(n-k+1)!} p^{k+1} q^{n-k-1} \\ &=&np\summe_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!\cdot{}(n-k+1)!} p^{k} q^{n-1-k} \\ &=&np(p+q)^{n-1} \\ &=&np \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} E(X^2) & = & \summe_{k=0}^n k^2\cdot{}{n \choose k} p^k q^{n-k} \\ &=& \summe_{k=1}^n k^2\cdot{}\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \\ &=& np\summe_{k=1}^n k\cdot{}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1} q^{n-k} \\ &=& np\summe_{k=1}^n k\cdot{}{n-1 \choose k-1} p^{k-1} q^{n-k} \\ &=& np\summe_{k=0}^{n-1} (k+1)\cdot{}{n-1 \choose k} p^{k} q^{n-1-k} \\ &=& np\left(\summe_{k=0}^{n-1} k\cdot{}{n-1 \choose k} p^{k} q^{n-1-k} +\summe_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k} p^{k} q^{n-1-k}\right)\\ &=& np\left((n-1)p + (p+q)^{n-1}\right)\\ &=& np\left((n-1)p + 1\right)\\ &=& np(np-p+1)\\ &=& np(np+q)\\ \end{array} $

$ \Rightarrow\ V(X)=E(X^2)-E(X)^2=np(np+q)-(np)^2=npq $

Erstellt: Sa 21.01.2006 von informix
Letzte Änderung: Di 13.01.2009 um 11:49 von informix
Weitere Autoren: Frusciante, luis52
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