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Dietlind Bäro
Daniel Metzsch		www.matheraum.de
Mathe für's ABI 2008
Aufgabenblatt 6
Abgabe: Mo 14.01.2008 08:00		17.12.2007
Aufgabe 1
Dem menschlichen Körper können Medikamente durch einen Tropf kontinuierlich zugeführt
werden. Zu Beginn weist der Körper keine Medikamentenmenge auf, nach In-Gang-Setzen
des Tropfes erhöht sich die Medikamentenmenge mit jedem Tropfen, aber zugleich beginnen
Nieren und Leber die Substanz wieder auszuscheiden.

Die Funktion m: $ t \to m(t) $ , t in Minuten, m in Milligramm gemessen, gebe die Medikamentenmenge
im Körper an.

a. Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion m’ für oben beschriebenen
Wachstumsprozess.

b. Für ein bestimmtes Medikament gelte $ m'(t) = e^{-0,02 t} $.
Bestimmen Sie m(t) unter der Voraussetzung, dass der Tropf zur Zeit t = 0 gestartet wird.

Es gilt fortan: $ m(t) = 50 (1 - e^{-0,02 t}) $ .

c. Zeichnen Sie die Graphen von m und m’ für einen sinnvollen Zeitraum und interpretieren
Sie deren Verlauf bezüglich der Medikamentenzufuhr.

d. Erläutern Sie, dass $ \limes_{t\to\infty}{m(t)}=50 $ gilt.

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Medikamentenmenge 90% dieses Grenzwertes
erreicht und den, von dem ab der Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute beträgt.

e. Berechnen Sie $ \integral_{0}^{10}{e^{-0,02t}\ dt} $ . Erläutern Sie die Bedeutung dieser Zahl.

f. Nach 5 Stunden wird der Tropf abgesetzt. Der Abbau des Medikaments erfolgt danach
mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, von dem ab die Nachweisgrenze des Medikaments von
1 μg $ (10^{-3} $ mg) im Körper unterschritten wird.


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