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	www.matheraum.de Wahrscheinlichkeitstheorie (Bauer) Aufgabenblatt 2 Abgabe: Fr 15.06.2007 10:00	18.05.2007
Dieser Übungszettel enthält die Aufgaben aus Kapitel I, § 3. Verteilung, Erwartungswert, Varianz, Jensensche Ungleichung. Die Aufgaben sind diesmal sehr technisch, der nächste Aufgabenzettel wird wieder interessanter.
Aufgabe 1
Eine $(\IR^d,\mathcal{B}^d)$ -Zufallsvariable X auf einem W-Raum $(\Omega,\mathcal{A},P)$ nehme nur abzählbar viele Werte $\omega_i'$ , $i\in I$ an (I abzählbar). Man zeige, dass $P_X=\summe_{i\in I} P\{X=\omega_i'\}\varepsilon_{\omega_i'}$
Aufgabe 2
Man betrachte den Laplaceschen W-Raum $(\Omega,\mathcal{A},P)$ aus § 2, Situation 1 (b); dort ist $\Omega=\Omega_0\times \ldots\times\Omega_0$ das Produkt von m Kopien einer n-elementigen Menge $\Omega_0$ (z.B. von Kugeln). $\Omega_0$ sei die Vereinigung zweier fremder Teilmengen $\Omega_0^s$ und $\Omega_0^w$ (z.B. der Menge aller schwarzen bzw. weißen Kugeln). Für jedes $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_m)$ bezeichne $X(\omega)$ die Anzahl aller Indizes $i=1,\ldots,m$ mit $\omega_i\in \Omega_0^s$ . Man bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen X. Situation § 2, 1 (b): In einer Urne befinden sich gut durchmischt n gleichartige Kugeln in den Farben Schwarz und Weiß, etwa s schwarze und w weiße (s+w=n). Man zieht willkürlich $m\le n$ Kugeln und legt jede gezogene Kugel sofort wieder in die Urne zurück. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau $k\le s$ schwarze Kugeln sind.
Aufgabe 3
Sei $g:\IR\to\IR_+$ eine symmetrisierte, Borel-meßbare, auf $\IR_+$ isotone Funktion mit g(x)>0 für alle $x\not=0$ . Ferner sei X eine reelle Zufallsvariable. Man beweise die folgende Verallgemeinerung der Chebyshev-Markovschen Ungleichung (vgl. MI, (20.1)): $P\{\|X\|\ge\alpha\}\le \bruch{1}{g(\alpha)}E(g(X))$ ( $\alpha>0$ )
Aufgabe 4
Es sei X eine Zufallsvariable auf $(\Omega,\mathcal{A},P)$ mit Werten in $\IN$ . Man beweise die Gleichheit $E(X)=\summe_{n=1}^\infty P\{X\ge n\}$ sowohl auf elementarem Weg als auch mit Hilfe von MI (23.10). MI (23.10): $\integral f\mathrm{d}\mu=\integral_{\IR^+} \mu\left(\left\lbrace f\ge t\right\rbrace\right)\lambda^1(dt)=\integral_{0}^{+\infty} \mu\left(\left\lbrace f\ge t\right\rbrace\right) dt$
Aufgabe 5
In der Situation des Satzes 3.8 (siehe Satz "rechtsseitige Tangenten konvexer Funktionen verlaufen unterhalb des Graphen" im MatheBank-Artikel konvex) zeige man, dass für beliebige Punkte $x,y\in \mathring{I}$ mit x<y die Ungleichungen $q'_{-}(x)\le q_{+}'(x)\le q_{-}(y)\le q'_+(y)$ gelten.
Aufgabe 6
Aus der Jensenschen Ungleichung (3.23) folgere man für eine konvexe Funktion q auf einem offenen Interval $I\subset\IR$ die folgende elementare Form dieser Ungleichung: $q\left(\summe_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \le \summe_{i=1}^n \lambda_i q(x_i)$ für je endlich viele Punkte $x_1,\ldots,x_n\in I$ und reelle Zahlen $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IR_+$ mit $\lambda_1+\ldots+\lambda_n=1$ . Gilt diese Aussage auch, wenn I ein beliebiges Intervall und q hierauf konvex ist?
Aufgabe 7
Man beweise, dass der Satz 3.9 (=Jensensche Ungleichung) auch für ein beliebiges Intervall $I\subset\IR$ gültig ist. Hierzu analysiere man das Verhalten von q in einem Endpunkt von I. Insbesondere zeige man zunächst, dass eine konvexe Funktion q auf I nach unten halbstetig ist, d.h. dass für jedes $\alpha\in\IR$ die Menge aller $x\in I$ mit $q(x)>\alpha$ offen in I ist.