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Sigrid Sprock
Marc O. Sandlus		www.matheraum.de
Vorbereitung auf das Zentralabitur in Mathematik in NRW
Aufgabenblatt 7
Abgabe: Fr 30.03.2007 14:00		23.03.2007
Aufgabe 1
Aufg.-Nr.: 10 Bereich: kombinierte Funktion Kursart: GK WTR
Wellness-Liege
Im „WOLF-RENZ_DESIGN_ZENTRUM“ wird eine neue Generation an Wellness-Liegen entwickelt. Für das Topmodell „ABI 2006“ haben die Designer geschickt Ausschnitte aus verschiedenen Funktionsgraphen zusammengesetzt.

[Dateianhang]

a) Die Fußstütze ergibt sich als Verlängerung (Teil der Tangente) an das Gestell/Beinauflage g, wobei für g die Gleichung  

$ g(x) = \bruch{1}{4} e^x \cdot (x-2)^2 $
gilt.

a1) Weisen Sie nach, dass für die 1. Ableitung von g gilt:
$ g'(x) = \bruch{1}{4} e^x \cdot (x^2-2x) $

a2) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an g, wenn der Übergang an x = -2 erfolgt.
a3) Geben Sie den Bereich für x an, in dem die Tangente als Fußstütze genutzt werden kann.

b) Als Sitzschale haben die Designer einen Ausschnitt aus der Parabel s (2. Ordnung) gewählt. Dabei haben sie für s die Gleichung

$ s(x) = \bruch{e}{4e-8}\ (x^2-ex+2e-3) $  

ermittelt.
b1) Zeigen Sie, dass die Graphen von g und s an der Stelle x = 1 knickfrei ineinander übergehen.
b2) Berechnen Sie die exakte Stelle des tiefsten Punktes der Sitzschale.
(Rechnungen mit e, keine Rundungen)

c) Für die seitliche Verblendung des Bereichs zwischen Fußstütze, Gestell/Beinauflage und Erdboden (x-Achse) sollen spezielle bebürstete Aluminiumbleche zum Einsatz kommen, die aus rechteckigen Blechen herausgeschnitten werden. Hier gilt: LE 1 entspricht 0,25m.
c1) Geben Sie mit Hilfe einer Schraffur die beschriebene Fläche in der Gesamtansicht an.
c2) Ermitteln Sie die Mindestlänge und die Mindestbreite, die das rechteckige Blech aufweisen muss.
c3) Eine Stammfunktion der Funktion g lautet:

$ G(x) = \bruch{1}{4} e^x \cdot (x^2 - 6x + 10) $

Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines fertig ausgeschnittenen Verblendungsblechs in m2.

Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW 16

[]Aufgabensammlung genehmigter Abituraufgaben 2006, die auch die Vorgaben des Zentralabiturs 2007 erfüllen (PDF-Datei), Aufgabe 10.
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