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Dipl. math. Felix Fontein
Dipl. math. Dieter Osterholz | www.matheraum.de
Algebra-Training 2006
Aufgabenblatt 3
Abgabe: Fr 22.09.2006 12:00 | 15.09.2006 | | Die Definition des cartesischen Produktes findet sich hier. | | Aufgabe 10 | Man betrachte  als additive Untergruppe von  und zeige:
i) Jedes Element in  ist von endlicher Ordnung.
ii) Für jedes  besitzt genau eine Untergruppe der Ordnung n, und diese ist zyklisch. | | Aufgabe 11 | Es seien  . Man zeige, daß die Gruppen  und  genau dann isomorph sind, wenn m und n teilerfremd sind. Insbesondere ist ein Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden Ordnungen wieder zyklisch.
(Das Produkt zweier Gruppen ist die Menge der geordneten Paare mit komponentenweiser Verknüpfung.) | | Aufgabe 12 | Es sei  ein Endomorphismus des n-fachen Produkts der additiven Gruppe . Man zeige:  ist genau dann injektiv, wenn  eine endliche Gruppe ist.
(Hinweis: Man betrachte den zu gehörigen Homomorphismus von -Vektorräumen  .) | | Aufgabe 13 | Seien G eine endliche Gruppe und S und T zwei (nicht notwendig verschiedene) Teilmengen von G. Dann gilt G = ST oder  .
In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder G = ST oder . Ist das auch richtig?
Dabei ist  . ST ist selbst dann nicht unbedingt eine Untergruppe, wenn S und T es sind. |
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