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Vorkurszettel

Dipl. math. Felix Fontein Dipl. math. Dieter Osterholz	www.matheraum.de Algebra-Training 2006 Aufgabenblatt 2 Abgabe: Fr 15.09.2006 12:00	08.09.2006
Aufgabe 6
Sei X eine Menge, $Y \subset X$ eine Teilmenge, G eine Gruppe und $G^{X} = \{ f : X \to G \}$ die Gruppe der G-wertigen Funktionen auf X. Sei $N := \{f \in G^{X} ; f(y) = 1 \text{ für alle } y \in Y\}$ . Man zeige, daß N ein Normalteiler in $G^{X}$ mit $G^{X}/N \cong G^{Y}$ ist.
Aufgabe 7
Sei G eine endliche Gruppe, $H_{1}, H_{2}$ seien Untergruppen mit $H_{1} \subset H_{2}$ . Dann gilt $(G:H_{1}) = (G:H_{2})\cdot{}(H_{2}:H_{1})$ .
Aufgabe 8
Eine Gruppe G enthalte einen Normalteiler N mit der folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist $H \subset G$ Untergruppe mit $H \supset N$ , so gilt bereits H = G oder H = N. Man zeige, daß je zwei Untergruppen $H_{1}, H_{2} \subset G$ mit $H_{1} \not= {1} \not= H_{2}$ und $H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}$ zueinander isomorph sind.
Aufgabe 9
Sei $\phi: G \to G'$ ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige: (i) Ist $H \subset G$ Untergruppe, so ist $\phi(H)$ Untergruppe in . Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist allgemein nur dann richtig, wenn $\phi$ surjektiv ist. (ii) Ist $H' \subset G'$ Untergruppe (bzw. Normalteiler) in , so gilt dasselbe für $\phi^{-1}(H') \subset G$ .