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Vorkurszettel

Analysis I/II Vorkurs-Übungsaufgaben	www.matheraum.de Analysis Aufgabenblatt 3 Abgabe: Di 21.02.2012 10:00	13.02.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Inhaltsverzeichnis bzw. den Skriptverweis in der Kursbeschreibung. Die Aufgaben sind so angelegt, dass sie bequem in einer Woche gelöst werden können.
Für diese Aufgaben sollten Sie mit folgenden Begriffen vertraut sein: Mächtigkeit, Abzählbarkeit, Hilberts Hotel, (Un-)Endlichkeit, überabzählbar, höchstens abzählbar, 1. und 2. Cantorsches Diagonalverfahren, Komplexe Zahlen und Rechenregeln.
Aufgabe 1
III-1: Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen $\IQ$ abzählbar ist.
Aufgabe 2
III-2: Jedes Intervall (a,b) $\subseteq \IR$ , a<b ist überabzählbar. Zeigen Sie als Folgerung, dass jedes Intervall (a,b) abzählbar viele rationale Zahlen und überabzählbar viele irrationale Zahlen enthält. (Hinweis: 2. Cantorsches Diagonalverfahren)
Aufgabe 3
III-3: Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form a+bi : (i) $(3-2i)^{3}$ (ii) $(\bruch{1-i}{1+i})^{10}$ (iii) $\bruch{5}{3-4i}$ + $\bruch{10}{4+3i}$
Aufgabe 4
III-4: Beweisen Sie: Für $z\in \IC$ gilt: \|z+1\|>\|z-1\| genau dann, wenn Re(z)>0 ist. Zeigen Sie weiterhin für $z\neq$ 0: es gilt $Re(z+\bruch{1}{z})=0$ genau dann, wenn Re(z)=0 ist und es gilt $Im(z+\bruch{1}{z})=0$ genau dann, wenn Im(z)=0 oder \|z\|=1 ist.