zyklische Untergruppe sa+tb < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 11.11.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | | Seien [mm] a,b\in\IN. [/mm] Zeige, dass U={ [mm] sa+tb|s,t\in\IZ [/mm] } eine zyklische Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] ist. Bestimme ein erzeugendes Element von U. Verifiziere dies für a=10 und b=6. |
Hi.
Also, das mit der Untergruppe hätte ich schon mal folgend gezeigt:
[mm] \IZ [/mm] ist ja zyklisch
also
[mm] \exists U_a\le\IZ [/mm] : [mm] U_a=a*\IZ=
[/mm]
[mm] \exists U_b\le\IZ [/mm] : [mm] U_b=b*\IZ=
[/mm]
also wäre [mm] U=U_a+U_b, [/mm] nicht?
nun habe ich mit den Untergruppenkriterien gezeigt, dass U eine Untergruppe ist:
für [mm] a,b\inU [/mm] gilt
[mm] (a*s_1+b*t_1)+(a*s_2+b*t_2)=a*(s_1+s_2)+b*(t_1+t_2)
[/mm]
also a+b [mm] \in [/mm] U
0 [mm] \in [/mm] U, da a*0+b*0=0
(as+bt)+(a(-s)+b(-t)) = 0
also existiert auch das Inverse
also ist U eine Gruppe
nun gilt ja, dass weil [mm] \IZ [/mm] zyklisch ist, auch U zyklisch sein muss
also ist U eine zyklische Untergruppe
richtig bis hierhin?
kann ich das auch anderswie beweisen?
wie kann ich nun das erzeugende Element bestimmen?
intuitiv würd ich ja sagen, dass es der ggt sein muss....bin mir aber nicht sicher ^^
Danke schonmal für die Hilfe :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
wenn du bereits weißt, dass Untergruppen zyklischer Gruppen wieder zyklisch sind, ist die Aufgabe natürlich langweilig^^ aber alles, was du schreibst ist richtig.
Beachte, dass die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Teilbarkeitsrelation eine geordnete Menge ist: $a\le b\iff a\mid b$. Das Element $\ggT(a,b)$ ist dasselbe wie ein Infimum von $\{a,b\}$ bezüglich dieser Ordnung. Die Infimum-Eigenschaft sagt ja in diesem Fall: Der größte gemeinsame Teiler teilt sowohl $a$ und $b$ und jeder andere gemeinsame Teiler teilt bereits den größten gemeinsamen Teiler.
Die Menge der Untergruppen von $\IZ$ mit $a\in\IN$ ist durch umgekehrte Inklusion geordnet: $G\le H\iff G\supseteq H$. Zeige, dass die Summe $G+H$ ein Infimum von $\{G,H\}$ ist. Die Inifmum-Eigenschaft besagt in diesem Fall: Die Summe enthält $G$ und $H$ und jede andere Untergruppe, welche $G$ und $H$ enthält, enthält bereits die Summe.
Außerdem ist die Abbildung $\IN\longrightarrow\{\text{Untergruppen von }\IZ}\}$, $a\longmapsto a\IZ$ ein Ordnungsisomorphismus. Hieraus folgt alles.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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