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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 31.10.2009 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass alle Untergruppen der folgenden Gruppen zyklisch sind:
a) [mm] \IZ
[/mm]
b) [mm] \IZ_{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN, n\ge2 [/mm] |
Gruppe G ist zyklisch wurde wie folgt definiert:
[mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G :G=<g>, wobei [mm] :=\{g^{k}|k\in\IZ\}
[/mm]
So ganz kapier ich diese Definition leider nicht. Kann man das auch in verständlicheren Worten ausdrücken?
Bei a) fange ich so an: Sei [mm] H\subseteq\IZ [/mm] eine UG von [mm] \IZ. [/mm] Dann sind a,b,a+b,0,-a und -b [mm] \in [/mm] H nach Def der Untergruppe.
So, und wie zeige ich nun, dass H zyklisch ist? Ich steh aufm Schlauch...
Bei b) ist mir nicht genau klar, was [mm] \IZ_{n} [/mm] bedeutet. Sind das alle durch n teilbaren Elemente aus [mm] \IZ, [/mm] also quasi nz mit [mm] z\in\IZ? [/mm] Wenn ja, dann müsste der Beweis der gleiche wie in a) sein, da - soweit ich weiß - alle Untergruppen von [mm] \IZ [/mm] die Gestalt [mm] n\IZ [/mm] haben, oder?
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte. Alleine krieg ichs wohl nicht hin...
Vielen Dank, Euer MosDef
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> Zeigen Sie, dass alle Untergruppen der folgenden Gruppen
> zyklisch sind:
> a) [mm]\IZ[/mm]
> b) [mm]\IZ_{n}[/mm] mit [mm]n\in\IN, n\ge2[/mm]
> Gruppe G ist zyklisch wurde wie folgt definiert:
> [mm]\exists[/mm] g [mm]\in[/mm] G :G=<g>, wobei [mm]:=\{g^{k}\ |\ k\in\IZ\}[/mm]
>
> So ganz kapier ich diese Definition leider nicht. Kann man
> das auch in verständlicheren Worten ausdrücken?
Man sagt in diesem Fall auch, die Gruppe sei von
dem Element g "erzeugt". Dies bedeutet, dass man
alle Elemente von g enthält, indem man einfach
alle Potenzen von g (mit beliebigen ganzzahligen
Exponenten nimmt, also
$\ [mm] g^0=e\ [/mm] \ [mm] (Eins)\qquad g^1=g\qquad g^{-1}=g_{inv}$ [/mm]
$\ [mm] g^2=g*g\qquad g^3=g*g*g\qquad g^{-2}=g_{inv}^2\,$
[/mm]
etc.
In dieser Definition wird die Gruppenoperation als
Multiplikation geschrieben. In den in dieser Aufgabe
betrachteten Gruppen [mm] \IZ [/mm] bzw. [mm] \IZ_n [/mm] ist aber die
additive Schreibweise vorzuziehen. Hier müsste
man also die Zyklizität etwas anders schreiben:
G=<g>, wobei [mm]:=\{k*g\ |\ k\in\IZ\}[/mm]
$\ 0*g=0\ \ [mm] (Nullelement)\qquad 1*g=g\qquad (-1)*g=g_{inv}$ [/mm]
$\ [mm] 2*g=g+g\qquad 3*g=g+g+g\qquad (-2)*g=g_{inv}+g_{inv}\,$
[/mm]
etc.
> Bei a) fange ich so an: Sei [mm]H\subseteq\IZ[/mm] eine UG von [mm]\IZ.[/mm]
> Dann sind a,b,a+b,0,-a und -b [mm]\in[/mm] H nach Def der
> Untergruppe.
> So, und wie zeige ich nun, dass H zyklisch ist? Ich steh
> aufm Schlauch...
Kennst du ein konkretes Beispiel einer echten Untergruppe
von [mm] \IZ [/mm] ?
Betrachte das kleinste positive Element der Untergruppe
und zeige, dass es die Gruppe erzeugt !
> Bei b) ist mir nicht genau klar, was [mm]\IZ_{n}[/mm] bedeutet. Sind
> das alle durch n teilbaren Elemente aus [mm]\IZ,[/mm] also quasi nz
> mit [mm]z\in\IZ?[/mm] Wenn ja, dann müsste der Beweis der gleiche
> wie in a) sein, da - soweit ich weiß - alle Untergruppen
> von [mm]\IZ[/mm] die Gestalt [mm]n\IZ[/mm] haben, oder?
Mit [mm] \IZ_n [/mm] ist hier wohl die aus n Elementen bestehende
zyklische Gruppe gemeint. So wäre z.B.
[mm] $\IZ_6\,=\ \{0,1,2,3,4,5\}$
[/mm]
wobei man modulo 6 addiert, also beispielsweise
$\ [mm] 3+5\,=\ 8_{mod\ 6}\ [/mm] =\ 2$
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 31.10.2009 | | Autor: | MosDef |
> Kennst du ein konkretes Beispiel einer echten Untergruppe
> von [mm]\IZ[/mm] ?
> Betrachte das kleinste positive Element der Untergruppe
> und zeige, dass es die Gruppe erzeugt !
>
>
Ja, z.B. die geraden ganzen Zahlen, also [mm] 2\IZ. [/mm] Dann ist 2 das kleinste pos. Element und alle anderen werden durch 2 erzeugt, das ist offensichtlich. Danke für den Hinweis. Ich versuchs mal anzuwenden:
Sei [mm] H\subseteq\IZ [/mm] Untergruppe, [mm] a\in [/mm] H sodass |a| = [mm] min\{|b| | b\in H\backslash\{0\}\}. [/mm] z.Z.: H=<a>. Richtig soweit? Dann nehme ich ein [mm] b\in [/mm] H und muss zeigen b=ka. Aber wie soll das funktionieren?
> Mit $ [mm] \IZ_n [/mm] $ ist hier wohl die aus n Elementen bestehende
> zyklische Gruppe gemeint. So wäre z.B.
> $ [mm] \IZ_6\,=\ \{0,1,2,3,4,5\} [/mm] $
>
> wobei man modulo 6 addiert, also beispielsweise
>
> $ \ [mm] 3+5\,=\ 8_{mod\ 6}\ [/mm] =\ 2 $
Danke auch hierfür. Geht das hier nun auf die gleiche Weise (kleinstes pos. Element erzeugt H)?
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> > Kennst du ein konkretes Beispiel einer echten Untergruppe
> > von [mm]\IZ[/mm] ?
> > Betrachte das kleinste positive Element der
> Untergruppe
> > und zeige, dass es die Gruppe erzeugt !
> >
> Ja, z.B. die geraden ganzen Zahlen, also [mm]2\IZ.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann ist 2 das kleinste pos. Element und alle anderen
> werden durch 2 erzeugt, das ist offensichtlich.
> Ich versuchs mal anzuwenden:
>
> Sei [mm]H\subseteq\IZ[/mm] Untergruppe, [mm]a\in[/mm] H sodass |a| = [mm]min\{|b| | b\in H\backslash\{0\}\}.[/mm]
> z.Z.: H=<a>. Richtig soweit?
Ich würde es so formulieren: $\ [mm] a=min\{b\in\IN\,:\ b\in H\}$ [/mm]
> Dann nehme ich ein [mm]b\in[/mm] H und
> muss zeigen b=ka. Aber wie soll das funktionieren?
Nehmen wir das Gegenteil an, also dass es kein
solches k gebe. Dann betrachten wir die Zahl
r:=b mod a. Weil r=b-i*a für ein ganzzahliges i,
müsste r auch zu H gehören. Ist aber b kein
ganzzahliges Vielfaches von a, müsste 0<r<a
gelten. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme,
dass a das kleinste positive Element von H sein soll.
> > Mit [mm]\IZ_n[/mm] ist hier wohl die aus n Elementen bestehende
> > zyklische Gruppe gemeint. So wäre z.B.
> > [mm]\IZ_6\,=\ \{0,1,2,3,4,5\}[/mm]
> >
> > wobei man modulo 6 addiert, also beispielsweise
> >
> > [mm]\ 3+5\,=\ 8_{mod\ 6}\ =\ 2[/mm]
>
> Danke auch hierfür. Geht das hier nun auf die gleiche
> Weise (kleinstes pos. Element erzeugt H)?
Hier gibt's ein kleines Problem: die Begriffe "positiv"
und "negativ" machen in [mm] \IZ_n [/mm] keinen Sinn !
Ich würde dir vorschlagen, zuerst mal ein paar
Beispielfälle anzuschauen, z.B. mit n=5, n=12, n=100.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Sa 31.10.2009 | | Autor: | MosDef |
Ich glaub ich habs kapiert. Vielen Dank!
Dann kann ich mich jetzt an Teil b) machen. Wenn ich nochmal Fragen habe, dann wahrscheinlich morgen...
Schöne Grüße,
MosDef
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