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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Seí G eine zyklische Gruppe der Ordnung n mit Erzeuger g. Für welche Werte r [mm] \in [/mm] {0,...,n-1} ist [mm] g^r [/mm] ein Erzeuger von g? |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe zur obigen Aufgabe. Ich habe leider keine Idee, wie ich ran gehen könnte...
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Probier das ganze mal für [mm] $G=(\IZ_n, [/mm] +)$ und $g=1$. Für welche Werte von r ist hier [mm] g^r=r*1=k [/mm] ein Erzeuger von [mm] \IZ_n? [/mm] Der Grund für diese Vorgehensweise: Du weißt, dass [mm] $G\cong \IZ_n$ [/mm] ist, z.B. durch den Isomorphismus [mm] $\varphi: \IZ_n\rightarrow [/mm] G, x [mm] \mapsto g^x$. [/mm] Hast du alle Erzeuger aus [mm] \IZ_n, [/mm] hast du auch direkt alle aus G.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 20.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
also ich hab mal [mm] (Z_3 [/mm] , + ) betrachtet mit Erzeuger 1 und Ordnung 3.
Dann ist r [mm] \in [/mm] {0,1,2}. Und nur für r=1 ist ist [mm] g^r [/mm] Erzeuger. Ist das so ok, oder ist [mm] Z_3 [/mm] keine gute Wahl, um das zu erkennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, [mm] \IZ_3 [/mm] ist glaube ich etwas wenig. :) Aber die 2 ist dort auch ein Erzeuger!
0*2=0, 1*2=2, 2*2=4=1 und damit hast du alle Elemente.
Oder nehmen wir mal [mm] \IZ_6. [/mm] Dort hast du als Erzeuger nur 1 und 5. In [mm] \IZ_7 [/mm] hättest du die Zahlen 1 bis 6 als Erzeuger. Das ist sogar bei allen Primzahlen so, $1,2,...,p-1$ erzeugt dir [mm] $\IZ_p$. \IZ_8 [/mm] wird von 1,3,5,7 erzeugt.
Ich muss aber zugeben, dass ich jetzt auch nicht wüsste, wie ich meine eigentliche Frage beantworten sollte. Deshalb noch ein Hinweis: Wenn du für eine Zahl k entscheiden willst, ob sie [mm] \IZ_n [/mm] erzeugt, dann schau dir ggT(k,n) an. Mit den Beispielen oben siehst du vielleicht, was für ggT(k,n) gelten muss. Dann musst du noch beweisen, dass das wirklich immer so gilt, wenn ihr das nicht schon in der Vorlesung gemacht habt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 20.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hallo, danke schonmal.
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, ist r [mm] \in [/mm] {0,...,n-1} ein Erzeuger von G, wenn ggT(r,n) = 1 ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ganz genau!
Du kannst ja mal versuchen das zu beweisen. Wenn es nicht gelingen sollte, hab ich noch ein paar Tipps für dich. :)
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