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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mo 10.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | Sei G eine endliche abelsche Gruppe und [mm] 1\le [/mm] e [mm] \in \IN [/mm] die kleinste Zahl e, so dass [mm] g^e [/mm] = 1 für alle g [mm] \in [/mm] G.
Zeigen Sie : Ist e = |G|, so ist G zyklisch |
Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
[mm] g^e [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G
=> [mm] \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] G : [mm] d^e [/mm] = 1 mit e minimal und |<d>| = e und <d> ist zyklisch.
=> G besitzt eine zyklische Untergruppe mit Ordnung e.
Nach Satz von Lagrange gilt:
|U| * | G/U | = |G|. Da aber |<d>| schon e ist muss G isomorph zu <d> sein und damit auch zyklisch.
Aber hier stimmt etwas nicht, weil ich die Eigenschaft abelsch nicht unterbringen konnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mo 10.07.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei G eine endliche abelsche Gruppe und [mm]1\le[/mm] e [mm]\in \IN[/mm] die
> kleinste Zahl e, so dass [mm]g^e[/mm] = 1 für alle g [mm]\in[/mm] G.
> Zeigen Sie : Ist e = |G|, so ist G zyklisch
> Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
>
> [mm]g^e[/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G
> => [mm]\exists[/mm] d [mm]\in[/mm] G : [mm]d^e[/mm] = 1 mit e minimal und |<d>| = e
> und <d> ist zyklisch.
> => G besitzt eine zyklische Untergruppe mit Ordnung e.
> Nach Satz von Lagrange gilt:
> |U| * | G/U | = |G|. Da aber |<d>| schon e ist muss G
> isomorph zu <d> sein und damit auch zyklisch.
>
> Aber hier stimmt etwas nicht, weil ich die Eigenschaft
> abelsch nicht unterbringen konnte.
Was meinst du denn mit |G/U|? Ist das die Anzahl der Nebenklassen (dann ist das OK) oder ist das die Ordnung der Quotientengruppe? Wenn du die Quotientengruppe meinst, muß U ein Normalteiler sein, damit du sie überhaupt bilden kannst, und das kann man am leichtesten sicherstellen, wenn man G als abelsch voraussetzt.
Aber die Voraussetzung 'G abelsch' ist hier in Wirklichkeit überflüssig, sie folgt vielmehr aus 'G zyklisch'.
Wenn es in einer endlichen Gruppe ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist, dann wird die Gruppe von diesem Element erzeugt und ist zyklisch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 12.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Ich habe schon befürchtet, dass wieder alles falsch ist, nur weil ich eine Voraussetzung nicht untergebracht habe.
Endlich ein Lichtblick.
Danke
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