zyklische Automorphismengruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mo 07.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe. Zu zeigen:
a) Ist Aut(G) zyklisch, so ist G abelsch.
b) Ist |Aut(G)|=2, so ist G zyklisch der Ordung 3, 4, oder 6. |
Hallo,
zu Aufgabe a hab ich mir überlegt:
Ist Aut(G) zyklisch, so folgt daraus, dass auch die Untergruppe Inn(G) der inneren Automorphismen zyklisch ist. Mit dem Homomorphiesatz gilt:
$Inn(G) [mm] \cong [/mm] Z/Z(G)$, also $Z/Z(G)$ zyklisch. Daraus folgt, dass G abelsch.
Stimmt das so?
zu Aufgabe b:
Ich denke, es gilt doch nicht allgemein für |G|=n, dass [mm] \varphi(n)=|Aut(G)|, [/mm] sondern nur [mm] \varphi(n)=|Aut(\IZ_n)|.
[/mm]
Da |Aut(G)|=2, ist Aut(G) zyklisch, und damit G abelsch.
Ich weiß mithilfe der [mm] \varphi- [/mm] Funktion, dass die in Frage kommenden zyklischen Gruppen genau [mm] \IZ_4, \IZ_3 [/mm] und [mm] \IZ_6 [/mm] sind.
Doch wie kann ich zeigen, dass keine andere nichtzyklische abelsche Gruppe auch eine zweielementige Autorphismengruppe besitzt?
Lg, Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Di 08.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi Verena,
darfst du den Struktursatz über endlich-erzeugte abelsche Gruppen verwenden, oder soll das 'zu Fuß' gelöst werden?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Di 08.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Dieter,
ja darf ich schon...
Lg, Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Di 08.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
Bei a) müßte man wohl für die letzte Schlußfolgerung ein Buch oder die Vorlesung zitieren oder einen eigenen Beweis hinschreiben.
Bei b) weißt du dann doch, daß G abelsch ist, also ein direktes Produkt von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung. Dann überleg dir mal, ob p [mm] \ge [/mm] 5 sein kann. Und welche Potenzen und wieviele Faktoren können für p = 2 und p = 3 auftauchen?
Viel bleibt da nicht übrig!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 08.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hi Dieter,
in die Richtung hab ich auch schon überlegt.
Hab dazu ne Frage: Gilt
Wenn H [mm] \le [/mm] G, dass Aut(H) [mm] \le [/mm] Aut (G)?
Dann kämen natürlich nur Gruppen in Frage, deren Ordnung aus 2-er und 3-er Potenzen besteht. Denn nach Cauchy gibt es zu jedem Primfaktor, der die Gruppenordnung teilt, eine Untergruppe.
Für die Kleinsche Vierergruppe weiß ich nen Beweis, dass ihre Automorphismengruppe die [mm] S_3 [/mm] ist (Allerdings relativ aufwändig).
Könnte man da ev. auch einfacher argumentieren?
Daraus würde dann folgen, dass [mm] \IZ_2\times\IZ_2 [/mm] nicht geht (und damit jede Untergruppe, die [mm] \IZ_2\times\IZ_2 [/mm] enthält).
[mm] \IZ_3\times\IZ_2\cong\IZ_6 [/mm] nach chinesischen Restsatz.
Doch was ist mit [mm] \IZ_3\times\IZ_3? [/mm] Müsste ich da auch explizit die Automorphismengruppe suchen?
Schöne Grüße aus dem mal sonnigen München...
Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 08.08.2006 | | Autor: | statler |
...aber so geht es auch:
Also Verena,
auf jeden Fall kann ich doch in einem direkten Produkt einen Automorphismus eines Faktors auf das ganze Produkt fortsetzen, indem ich auf den anderen Faktoren die Identität nehme. Das heißt aber sofort p [mm] \le [/mm] 3.
Z/9Z hat bereits 6 erzeugenden Elemente. Ein Autom. bildet ein erz. Elem. auf ein erz. Element ab und ist dadurch festgelegt, also gibt es zu viele. Z/9Z kann als Faktor daher nicht auftauchen.
Also bleibt für p = 3 nur, daß Z/3Z dabei sein kann. Da Z/3Z einen nicht-trivialen Automorphismus hat, bleibt als anderer Faktor nur die Eins-Gruppe oder Z/2Z.
Für Z/8Z kannst du ganz ähnlich argumentieren, es gibt nämlich 4 erz. Elemente.
Z/2Z alleine ist zu klein, da nur 1 Automorphismus (id).
Z/2Z x Z/2Z kann auch nicht sein, das hast du selbst herausgefunden. Dann natürlich auch Z/2Z x Z/2Z x ... nicht.
Z/2Z x Z/4Z kann dann erst recht nicht sein.
Also bleibt nur Z/4Z, und das paßt auch, weil Z/4Z 2 erzeugende Elemente hat.
Zu den Automorphismen eines direkten Produkts gehören auf jeden Fall die Automorphismen der einzelnen Faktoren (, die als Identität auf den Rest fortgesetzt werden) und die Produkte solcher Automorphismen (, die miteinander kommutieren). Wie man an Z/2Z x Z/2Z sieht, kann es aber mehr geben.
Soweit erstmal und schönen Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 08.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Dieter und einen schönen Abend!
danke für Deine Tipps, hab jetzt eine bessere Vorstellung von den Automorphismen  .
Noch eine Frage: Was meinst Du mit
Zu den Automorphismen eines direkten Produkts gehören .... die Produkte solcher Automorphismen (, die miteinander kommutieren).
Verstehe ich's so richtig?
Ist [mm] f_1 [/mm] ein Autmorphismus von [mm] \IZ_m, [/mm] und [mm] f_2 [/mm] ein Automorphimus von [mm] \Z_n, [/mm] so ist [mm] f:(a,b)\mapsto (f_1(a),f_2(b)) [/mm] ein Automorphismus von [mm] \IZ_m\times \IZ_n. [/mm]
Doch was meinst Du damit, dass diese kommutieren?
Schöne Grüße
Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 09.08.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Verena, frohes Schaffen!
> Noch eine Frage: Was meinst Du mit
>
> Zu den Automorphismen eines direkten Produkts gehören ....
> die Produkte solcher Automorphismen (, die miteinander
> kommutieren).
>
> Verstehe ich's so richtig?
>
> Ist [mm]f_1[/mm] ein Autmorphismus von [mm]\IZ_m,[/mm] und [mm]f_2[/mm] ein
> Automorphimus von [mm]\Z_n,[/mm] so ist [mm]f:(a,b)\mapsto (f_1(a),f_2(b))[/mm]
> ein Automorphismus von [mm]\IZ_m\times \IZ_n.[/mm]
Genau.
> Doch was meinst Du damit, dass diese kommutieren?
Wenn ich [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] als Elemente der Automorphismengruppe von [mm] \IZ_m\times \IZ_n [/mm] betrachte, also mittels Identität fortsetze, dann kommutieren sie natürlich:
[mm] (f_{1}, [/mm] id) [mm] \circ [/mm] (id, [mm] f_{2}) [/mm] = (id, [mm] f_{2}) \circ (f_{1}, [/mm] id)
So meinte ich das.
Einen frühen Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Mi 09.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Guten Morgen Dieter,
ganz vielen Dank!! Hab's jetzt verstanden...
Schöne Grüße aus dem Süden von einer heute auch Frühaufsteherin
Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 So 20.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Hab dazu ne Frage: Gilt
> Wenn H [mm]\le[/mm] G, dass Aut(H) [mm]\le[/mm] Aut (G)?
Nein, das gilt im Allgemeinen nicht. (Das glaube ich zumindest grad, bzw. ich halte es intuitiv fuer richtig.) Wenn jedoch $H$ ein direkter Summand von $G$ ist, dann kann man $Aut(H)$ in $Aut(G)$ einbetten (i.A. nicht eindeutig, und ich vermute mal das es auch nicht kanonisch geht).
Ein Beispiel faellt mir allerdings grad nicht ein...
LG Felix
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