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zwei st. und diffb. Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Mo 21.07.2008
Autor: Karl_Pech

Hallo Zusammen,


Wäre Klasse, wenn mir jemand einen Ansatz für die folgende Aufgabe geben könnte.


Aufgabe
Es seien [mm]a,b\in\mathbb{R},a


Das, was am Anfang gegeben ist, läßt ja bereits vermuten, daß man hier entweder den Satz von Rolle oder aber den allgemeinen Mittelwertsatz anzuwenden hat. Nur kommt mir irgendwie keine Idee, wie ich ihn anwenden soll.



Grüße
Karl




        
Bezug
zwei st. und diffb. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Mo 21.07.2008
Autor: pelzig


> Es seien [mm]a,b\in\mathbb{R},a
> [mm]f,g:\left[a,b\right]\to\mathbb{R}[/mm] seien stetige, auf
> [mm]\left]a,b\right[[/mm] differenzierbare Funktionen mit [mm]f(a)\ge g(a)[/mm]
> und [mm]f'\ge g'[/mm]. Zeigen Sie, daß dann [mm]f\ge g[/mm] auf ganz
> [mm]\left[a,b\right][/mm] gilt.

Betrachte [mm]h(x):=(f-g)(x)[/mm]. Offensichtlich ist [mm]h[/mm] ebenfalls stetig auf [mm][a,b][/mm] und diffbar auf [mm](a,b)[/mm], ferner [mm] $h'(x)\ge0$ [/mm] für alle [mm] $x\in(a,b)$ [/mm] und [mm] $h(a)\ge0$. [/mm] Nach dem MWS ist also für [mm] $x\in[a,b]$ [/mm]
[mm] $$h(x)-h(a)=h'(\xi)(x-a)\ge 0\Rightarrow h(x)\ge h(a)\ge 0\Rightarrow f(x)-g(x)\ge 0\gdw f(x)\ge [/mm] g(x)$$Also die Behauptung, da [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] beliebig war.

Bezug
                
Bezug
zwei st. und diffb. Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:24 Di 22.07.2008
Autor: Karl_Pech

Hallo pelzig!


Vielen Dank! Hut ab! [hut]

Bezug
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