zwei Kugeln in Folge ziehen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 27.04.2005 | | Autor: | ZoX |
Hallo,
ich hab hier bei ein paar Übungen, bei welchen ich nicht weiterkomme:
Gegeben ist eine Urne in der zwei schwarze und zwei weiße Kugeln liegen.
Nun lautet die Frage:
Welches Zufallsexperiment beschreibt beim Ziehen mit Zurücklegen den erfolgreichen Zug einer weißen Kugel?
Ich denke bei dem Zufallsexperiment handelt es sich einfach um das Laplace-Experiment.
Nun ist aber noch nach der Dichtefunktion der zugehörigen diskreten Verteilung für den ersten Zug gefragt. Handelt es sich bei der diskreten Verteilung um die Bernoulli-Verteilung? Und wenn ja, wäre die Dichtefunktion dann [mm]f_{X_{1}}(x_{1}) = \begin{cases} \bruch{2}{4}, & \mbox{für } x = 1 \mbox{ (also Erfolg)} \\ \bruch{2}{4}, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ (also Misserfolg)} \end{cases} = \bruch{1}{2}[/mm]?
Dann ist noch folgendes gefragt:
Welche diskrete Verteilung beschreibt beim Ziehen mit Zurücklegen den erfolgreichen Zug zweier weißer Kugeln in Folge?
Hier bin ich mir auch nicht gerade sicher. Ich denke, es handelt sich um eine Binomialverteilung. Was mich stört ist dieses "in Folge", denn die Binomialverteilung berücksichtigt ja alle Möglichkeiten ein bestimmte Anzahl an Kugeln zu ziehen, nicht nur die Möglichkeiten, bei denen zwei hintereinander gezogen werden.
Nach der Dichtefunktion für die ersten beiden Züge [mm]f_{X}(k) = p(X=k)[/mm] ist auch noch gefragt. Wäre dieses "in Folge" nicht, würde ich diese so gestalten: [mm]f_{X}(k) = {4 \choose k}\left(\bruch{2}{4}\right)^{k} * \left(\bruch{2}{4}\right)^{4-k}[/mm].
Und zuletzt die Frage: Welche diskrete Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bei mehrmaligem Ziehen mit Zurücklegen der Kugeln erstmals ein weiße Kugel gezogen wird?
Das könnte die geometrische Verteilung sein mit folgender Dichtefunktion:
[mm]f_{X}(k) = \bruch{1}{4} * \left(\bruch{3}{4}\right)^{k-1}[/mm]
Hoffe, es kann mir da jemand etwas Licht ins Dunkel bringen.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ZoX!
> Gegeben ist eine Urne in der zwei schwarze und zwei weiße
> Kugeln liegen.
>
> Nun lautet die Frage:
> Welches Zufallsexperiment beschreibt beim Ziehen mit
> Zurücklegen den erfolgreichen Zug einer weißen Kugel?
> Ich denke bei dem Zufallsexperiment handelt es sich
> einfach um das Laplace-Experiment.
Das ist richtig. Ich könnte mir aber vorstellen, dass hier eher nach dem Bernoulli-Experiment gefragt ist. Meiner Meinung nach ist die Frage aber nicht eindeutig zu beantworten.
> Nun ist aber noch nach der Dichtefunktion der zugehörigen
> diskreten Verteilung für den ersten Zug gefragt. Handelt es
> sich bei der diskreten Verteilung um die
> Bernoulli-Verteilung? Und wenn ja, wäre die Dichtefunktion
> dann [mm]f_{X_{1}}(x_{1}) = \begin{cases} \bruch{2}{4}, & \mbox{für } x = 1 \mbox{ (also Erfolg)} \\ \bruch{2}{4}, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ (also Misserfolg)} \end{cases} = \bruch{1}{2}[/mm]?
Wenn Du [mm] $x_1$ [/mm] als Argument benutzt, solltest Du in der geschweiften Klammer auch wieder [mm] $x_1$ [/mm] verwenden. Ansonsten stimmt aber alles bis auf das letzte Gleichheitszeichen, denn diese Art der Zusammenfassung ist nicht üblich. Für alle anderen Zahlen x (bzw. [mm] $x_1$) [/mm] außer 0 und 1 ist [mm] $f_{X_1}$ [/mm] außerdem 0, also nicht konstant 1/2.
> Dann ist noch folgendes gefragt:
> Welche diskrete Verteilung beschreibt beim Ziehen mit
> Zurücklegen den erfolgreichen Zug zweier weißer Kugeln in
> Folge?
> Hier bin ich mir auch nicht gerade sicher. Ich denke, es
> handelt sich um eine Binomialverteilung.
Also ich bin etwas verwirrt, dass ein bestimmtes Ereignis beim beschriebenen Zufallsexperiment immer gleich mit einer diskreten Verteilung in Verbindung gebracht werden soll. Ich verstehe es so, dass das beschriebene Ereignis entweder eintritt oder nicht, d.h. es geht bei der gesuchten diskreten Verteilung nur um die Wkt dafür, dass das Ereignis eintritt. Mit dem 01-Code von oben ergibt sich dann
[mm]f_{X_2}(x) = \begin{cases} \bruch{1}{4}, & \mbox{für } x = 1 \mbox{ (also Erfolg)} \\ \bruch{3}{4}, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ (also Misserfolg)} \end{cases}, [/mm]
also wieder eine Bernoulli-Verteilung.
> Was mich stört ist
> dieses "in Folge", denn die Binomialverteilung
> berücksichtigt ja alle Möglichkeiten ein bestimmte Anzahl
> an Kugeln zu ziehen, nicht nur die Möglichkeiten, bei denen
> zwei hintereinander gezogen werden.
> Nach der Dichtefunktion für die ersten beiden Züge
> [mm]f_{X}(k) = p(X=k)[/mm] ist auch noch gefragt. Wäre dieses "in
> Folge" nicht, würde ich diese so gestalten: [mm]f_{X}(k) = {4 \choose k}\left(\bruch{2}{4}\right)^{k} * \left(\bruch{2}{4}\right)^{4-k}[/mm].
Na ja, wie Du richtig schreibst, geht es ja bei der Binomialverteilung um die Anzahl von Erfolgen, und das bringe ich nocht sofort in Zusammenhang mit obigem Ereignis. Aber ich kann mich hier auch irren. ICh finde den Aufgabentext jedenfalls nicht besonders gelungen.
> Und zuletzt die Frage: Welche diskrete Verteilung
> beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bei
> mehrmaligem Ziehen mit Zurücklegen der Kugeln erstmals ein
> weiße Kugel gezogen wird?
> Das könnte die geometrische Verteilung sein mit folgender
> Dichtefunktion:
> [mm]f_{X}(k) = \bruch{1}{4} * \left(\bruch{3}{4}\right)^{k-1}[/mm]
Hier stimme ich Dir zu, dass eine geometrische Verteilung vorliegt, allerdings leuchtet mir der von Dir gewählte Parameter nicht ganz ein. Die Wkt. für eine weiße Kugel ist doch bei jedem Zug 1/2. Vielleicht hast Du Dich hier von dem Ereignis bei zweimaligem Ziehen irritieren lassen.
Viele Grüße
Brigitte
> Hoffe, es kann mir da jemand etwas Licht ins Dunkel
> bringen.
> Danke schonmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Do 28.04.2005 | | Autor: | ZoX |
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
> > Und zuletzt die Frage: Welche diskrete Verteilung
> > beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bei
> > mehrmaligem Ziehen mit Zurücklegen der Kugeln erstmals ein
> > weiße Kugel gezogen wird?
> > Das könnte die geometrische Verteilung sein mit folgender
> > Dichtefunktion:
> > [mm]f_{X}(k) = \bruch{1}{4} * \left(\bruch{3}{4}\right)^{k-1}[/mm]
>
> Hier stimme ich Dir zu, dass eine geometrische Verteilung
> vorliegt, allerdings leuchtet mir der von Dir gewählte
> Parameter nicht ganz ein. Die Wkt. für eine weiße Kugel ist
> doch bei jedem Zug 1/2. Vielleicht hast Du Dich hier von
> dem Ereignis bei zweimaligem Ziehen irritieren lassen.
Stimmt, da hab ich wohl was übersehen, sollte eigentlich [mm]f_{X}(k) = \bruch{2}{4} * \left(\bruch{2}{4}\right)^{k-1}[/mm] heißen.
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