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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 09.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Seine I , J [mm] \subset [/mm] R zwei Ideale im Ring R.
Wir definieren IJ = [mm] \{x_1y_1 + ... + x_ky_k | k \ge 0 , x_i \in I, a_j \in J \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass IJ ein Ideal ist und dass gilt: IJ [mm] \subseteq [/mm] I [mm] \cap [/mm] J. Gilt sogar Gleichheit? |
Um zu zeigen, dass IJ ein Ideal ist, bin ich wie folgt vorgegangen:
[mm] x_ky_k [/mm] ist ein Ideal, denn nach Definition gilt: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] I , [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R gilt, ar [mm] \in [/mm] I.
Also gilt insbesondere: [mm] x_{k}y_{k} [/mm] ist ein Ideal.
Weiter: [mm] x_ky_k [/mm] + [mm] x_ly_l [/mm] ist ein Ideal, denn wie bereits gezeigt ist [mm] x_ky_k [/mm] ein Ideal und nach Definition ist I eine Untergruppe von (R, + ) .
Also ist auch [mm] x_ky_k [/mm] + [mm] x_ly_l [/mm] ein Ideal...! (Bei diesem Schritt bin ich mir zwar nicht so sicher...)
Somit wäre der erste Teil gezeigt?
Wie müsste ich dann etwa beim zweiten Teil der Aufgabe vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Do 09.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seine I , J [mm]\subset[/mm] R zwei Ideale im Ring R.
> Wir definieren IJ = [mm]\{x_1y_1 + ... + x_ky_k | k \ge 0 , x_i \in I, a_j \in J \}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass IJ ein Ideal ist und dass gilt: IJ
> [mm]\subseteq[/mm] I [mm]\cap[/mm] J. Gilt sogar Gleichheit?
> Um zu zeigen, dass IJ ein Ideal ist, bin ich wie folgt
> vorgegangen:
>
> [mm]x_ky_k[/mm] ist ein Ideal, denn nach Definition gilt: [mm]\forall[/mm] a
> [mm]\in[/mm] I , [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] R gilt, ar [mm]\in[/mm] I.
Also [mm] $x_k y_k$ [/mm] ist kein Ideal, sondern ein Element. Ein Ideal ist eine Menge!
> Also gilt insbesondere: [mm]x_{k}y_{k}[/mm] ist ein Ideal.
>
> Weiter: [mm]x_ky_k[/mm] + [mm]x_ly_l[/mm] ist ein Ideal, denn wie bereits
> gezeigt ist [mm]x_ky_k[/mm] ein Ideal und nach Definition ist I eine
> Untergruppe von (R, + ) .
> Also ist auch [mm]x_ky_k[/mm] + [mm]x_ly_l[/mm] ein Ideal...! (Bei diesem
> Schritt bin ich mir zwar nicht so sicher...)
>
> Somit wäre der erste Teil gezeigt?
Sicher nicht.
> Wie müsste ich dann etwa beim zweiten Teil der Aufgabe
> vorgehen?
Schau dir bitte nochmal ganz genau an was ein Ideal ist, und was der Unterschied zwischen Teilmengen und Elementen ist. Dann versuch den ersten Teil der Aufgabe nochmal. Und erst dann schau dir den zweiten Teil an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 10.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
ja also eigentlich habe ich mit [mm] x_ky_k [/mm] folgendes Menge gemeint:
[mm] \{x_ky_k , k > 0 , x_k \in I , y_k \in J\}
[/mm]
so sollte es doch stimmen...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Fr 10.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ja also eigentlich habe ich mit [mm]x_ky_k[/mm] folgendes Menge
> gemeint:
>
> [mm]\{x_ky_k , k > 0 , x_k \in I , y_k \in J\}[/mm]
Wieso sollte diese Menge ein Ideal sein?
LG Felix
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Hallo
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> > ja also eigentlich habe ich mit [mm]x_ky_k[/mm] folgendes Menge
> > gemeint:
> >
> > [mm]\{x_ky_k , k > 0 , x_k \in I , y_k \in J\}[/mm]
>
> Wieso sollte diese Menge ein Ideal sein?
>
Sei [mm] x_i \in [/mm] I (Ideal) und [mm] y_i \in [/mm] J (Ideal).
Für Ideale gilt ja folgendes:
Ist a [mm] \in [/mm] I und r [mm] \in [/mm] R (Ring), so ist r*a [mm] \in [/mm] I.
Ich multipliziere nun also ein Element aus dem Ideal I (nämlich [mm] x_i) [/mm] mit einem Element aus dem Ideal J (nämlich [mm] y_i).
[/mm]
[mm] y_i [/mm] liegt insbesonere auch in R. Also mache ich genau das, was in der Definition für Ideale steht:
Ist a [mm] \in [/mm] I und r [mm] \in [/mm] R (Ring), so ist r*a [mm] \in [/mm] I.
Also muss das Produkt [mm] x_i*y_i [/mm] auch wieder im Ideal I liegen. (Folglich auch in J)
Stimmt dies denn überhaupt nicht, was ich da hingeschrieben habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 12.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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