zusammenhängende Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 So 18.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
| Aufgabe | | Ist S = {(x,y) [mm] \in \IR2 [/mm] : (y<=0) [mm] \/ [/mm] (y >= 1/( [mm] 1+x^2) [/mm] } zusammenhängend? |
Hallo! Also ich habe S in zwei Mengen zerlegt:
Q1 = {(x,y) [mm] \in \IR2 [/mm] : (y<=0) }
Q2 = {(x,y) [mm] \in \IR2 [/mm] : (y >= 1/( [mm] 1+x^2) [/mm] }
und festgestellt, dass beide Mengen "relativ offen sind" und folgende Bedingungen gelten:
S [mm] \subset [/mm] ( Q1 [mm] \cup [/mm] Q2 )
S [mm] \cap [/mm] Q1 [mm] \not= \emptyset
[/mm]
S [mm] \cap [/mm] Q2 [mm] \not= \emptyset
[/mm]
S [mm] \cap [/mm] Q1 [mm] \cap [/mm] Q2 = [mm] \emptyset
[/mm]
stimmt das bis jetzt? daraus würde ja folgen, dass Q nicht zusammenhängend ist, oder?
Da 1/( [mm] 1+x^2) [/mm] gegen Null konvergiert bin ich mir nicht wirklich sicher wie ich beweisen soll, dass S nicht zusammenhängend ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Mo 19.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
hat keiner eine Idee ... hilfe ;)
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> Ist $S = [mm] \{(x,y) \in \IR2 : (y<=0) \vee (y >= 1/(1+x^2) \}$
[/mm]
> zusammenhängend?
> Hallo! Also ich habe S in zwei Mengen zerlegt:
>
> [mm] $Q_1 [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR2 : (y<=0) \}$
[/mm]
> [mm] $Q_2 [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR2 : (y >= 1/(1+x^2)\}$
[/mm]
>
> und festgestellt, dass beide Mengen "relativ offen sind"
> und folgende Bedingungen gelten:
>
> $S [mm] \subset [/mm] ( [mm] Q_1 \cup Q_2 [/mm] )$
> $S [mm] \cap Q_1 \not= \emptyset$
[/mm]
> $S [mm] \cap Q_2 \not= \emptyset$
[/mm]
>
> $S [mm] \cap Q_1 \cap Q_2 [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
>
> stimmt das bis jetzt? daraus würde ja folgen, dass Q nicht
> zusammenhängend ist, oder?
>
> Da [mm] $1/(1+x^2)$ [/mm] gegen Null konvergiert bin ich mir nicht
> wirklich sicher wie ich beweisen soll, dass S nicht
> zusammenhängend ist.
Wie wärs, wenn Du statt dessen etwas Einfaches machen würdest: nämlich die beiden disjunkten offenen Mengen [mm] $O_1 [/mm] := [mm] \{(x,y)\in \IR^2\mid y < \frac{1}{2(1+x^2)}\}$ [/mm] und [mm] $O_2 [/mm] := [mm] \{(x,y)\in \IR^2 \mid \frac{1}{2(1+x^2)}
Es ist doch [mm] $S\subseteq O_1\cup O_2$, $O_1\cap O_2=\emptyset$ [/mm] und [mm] $S\cap O_1\neq\emptyset$ [/mm] sowie [mm] $S\cap O_2 \neq\emptyset$: [/mm] also ist $S$ nicht zusammenhängend.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Di 20.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
merci!
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