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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 19.12.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie:
1) das Bild eines zusammenhängenden Raumes unter einer stetigen Abbildung ist zusammenhängend.
2) das Bild eines wegzusammenhängenden Raumes unter einer stetigen Abbildung ist zusammenhängend. |
Heyho!
Also irgendwie denkt man erstmal anschaulich, dass beide Behauptungen stimmen, wenn man so an eine stetige Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] denkt....
Aber wenn ich jetzt raten müsste, würde ich sagen, dass die erste Behauptung falsch ist und die zweite richtig, wenn beide richtig wären, so würde ja aus der einer die Richtigkeit der anderen folgen oder andersherum, da ja jeder wegzusammenhängender Raum zusammenhängend ist. Und dann wäre das doch zu einfach, weil man nur eins machen müsste.
Also gibt es bei 1) bestimmt irgendein wirres Gegenbeispiel...
Und wie man nun 2) zeigen sollte? Mmh? Zu zeigen ist, ja, wenn X wegzusammenhängend [mm] f:X\to [/mm] Y stetig und [mm] Y=U\cup [/mm] V offene Vereinigung disjunkter Mengen, dass dann entweder U oder V leer sind...
Ich seh da irgendwie noch nicht den "Zusammenhang"...
Ist meine Vermutung denn nun erstmal korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 So 19.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen oder widerlegen Sie:
> 1) das Bild eines zusammenhängenden Raumes unter einer
> stetigen Abbildung ist zusammenhängend.
>
> 2) das Bild eines wegzusammenhängenden Raumes unter einer
> stetigen Abbildung ist zusammenhängend.
>
> Also irgendwie denkt man erstmal anschaulich, dass beide
> Behauptungen stimmen, wenn man so an eine stetige Abbildung
> von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] denkt....
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wenn ich jetzt raten müsste, würde ich sagen, dass
> die erste Behauptung falsch ist und die zweite richtig,
> wenn beide richtig wären, so würde ja aus der einer die
> Richtigkeit der anderen folgen oder andersherum, da ja
> jeder wegzusammenhängender Raum zusammenhängend ist. Und
> dann wäre das doch zu einfach, weil man nur eins machen
> müsste.
Nur weil es einfach waer, muss es noch lange nicht stimmen!
> Also gibt es bei 1) bestimmt irgendein wirres
> Gegenbeispiel...
Nein, aber einen einfachen Beweis. Beachte, dass Urbilder offener (abgeschlossener) Mengen unter stetigen Abbildungen wieder offen (abgeschlossen) sind.
> Und wie man nun 2) zeigen sollte? Mmh?
Das folgt aus 1).
Ansonsten kann man erst zeigen: ist $f$ stetig und $X$ wegzusammenhaengend, so ist $f(X)$ auch wegzusammenhaengend. Das ist ziemlich einfach.
Und aus wegzusammenhaengend folgt zusammenhaengend.
LG Felix
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