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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - zufällige Ereignisse
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zufällige Ereignisse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Do 15.01.2009
Autor: sask1a

Aufgabe
Für die zufälligen Ereignisse A und B seien
[mm] P(A\cup B)=\bruch{11}{12}; P(A\cap B)=\bruch{1}{6} [/mm] und [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) [mm] =\bruch{1}{3} [/mm]

bekannt. Berechnen Sie P(A), P(B) und P(A \ B)  

Mir ist klar, dass erstes die Wahrscheinlichkeit ist, dass A oder B auftritt, dass zweites bedeutet, dass A und B erfüllt sein müssen und drittens B aber nicht A erfüllt ist.

Ja, erstes ist die Summe und zweites das Produkt der Ereignisse... und nun?

        
Bezug
zufällige Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 15.01.2009
Autor: biic

hi.

> Für die zufälligen Ereignisse A und B seien
>  [mm]P(A\cup B)=\bruch{11}{12}; P(A\cap B)=\bruch{1}{6}[/mm] und
> [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B) [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> bekannt. Berechnen Sie P(A), P(B) und P(A \ B)
> Mir ist klar, dass erstes die Wahrscheinlichkeit ist, dass
> A oder B auftritt, dass zweites bedeutet, dass A und B
> erfüllt sein müssen und drittens B aber nicht A erfüllt
> ist.
>  
> Ja, erstes ist die Summe

nur falls A und B disjunkt sind, also A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm]

im allgemeinen ist: P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)

> und zweites das Produkt der Ereignisse...

bei unabhängigen, aber ich denke davon können wir hier ausgehen.

> und nun?

wenn ich das richtig sehe (bin etwas aus der übung), ist hier erstmal P(B) das einfachste.
dazu schaue dir mal P(A [mm] \cap [/mm] B) und [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) an. Wie kann man das kombinieren ?

Bezug
                
Bezug
zufällige Ereignisse: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:44 Do 15.01.2009
Autor: sask1a

[mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) errechnet sich vielleicht aus P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B), da es die Wahrscheinlichkeit von P(B), aber ohne alle Möglichkeiten von A und B gemeinsam ist. A ist ja nicht dabei.

Kann ich dann einfach diese Rechnung aufstellen:
[mm] \bruch{1}{3}=P(B)-\bruch{1}{6} [/mm]
und somit [mm] P(B)=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{6}=\bruch{1}{2} [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
zufällige Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 15.01.2009
Autor: biic

genau.

begründen kann man das mit der regel, die ich schon geschrieben habe:

P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)

wenn du dir anguckst:
P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B))  = P(A [mm] \cap [/mm] B) + [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) - P ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap (\overline{A} \cap [/mm] B))

Dabei gilt für die erste Menge:

(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B) = B [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup \overline{A}) [/mm] = B [mm] \cap \Omega [/mm] = B

und für die letzte menge :

(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap (\overline{A} \cap [/mm] B) = A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap \overline{A} \cap [/mm] B
=A [mm] \cap \overline{A} \cap [/mm] B
[mm] =\emptyset \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm]

und [mm] P(\emptyset)=0. [/mm]

Also ist (*):
P(B)  = P(A [mm] \cap [/mm] B) + [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B)  - 0

Da ich wie gesagt aus der übung bin lasse ich das mal offen damit noch mal kurz jemand drüber guckt, aber ich denke das müsste so passen.


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