zuammenhang spatprod./pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 17.04.2005 | | Autor: | derobin |
Hallo Ihr,
kann man über das spatprodukt (axb)*c irgendwie das V der pyramide errechnen? (wie beim tetraeder: 1/6 * spatprod = V)
Thx Robin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 So 17.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo derobin
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Frage ist nicht gerade ein Vorbild, was die Deutlichkeit anbelangt. 
Ich vermute jetzt einfach mal, dass du etwa folgendes meinst:
Eine Pyremide mit einem Polynom als Grundfläche, deren Ecken mit A,B,C,D,E,... bezeichnet sind, und der Spitze S ist gegeben. Dann werden die Mantellinien, welche die Spitze der Pyramide mit den einzelnem Ecken der Grundlinie Verbunden. Dabei ist SA = [mm] \vec{a}, [/mm] SB = [mm] \vec{b}, [/mm] SC = [mm] \vec{c}, [/mm] usw.
Kann das Volumen der Pyramide berechnet werden?
Die Antwort ist eigentlich denkbar einfach! Zeichne mal deine Pyramidengrundfläche auf, und zeichen von A aus alle Diagonalen ein. Dadurch hast du die Grundfläche in lauter Dreiecke geteilt.
Bei einem Sechseck als Grundfläche zum Beispiel die Dereicke ABC, ACD, ADE und AEF.
Wenn du die Spitze der Pyramide mit deinen Grundfläche-Ecken verbindest, hast du doch mit dieser Unterteilung lauter Tetraeder erhalten. Du kannst also einfach die Volumenformel für alle Tetraeder nehmen und allse schön aufsummieren.
Hier also zum Beispiel:
[mm] $\bruch{1}{6}([\vec{a},\vec{b},\vec{c}]+[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]+[\vec{a},\vec{d},\vec{e}]+[\vec{a},\vec{e},\vec{f}])$ [/mm] 
Mit lieben Grüssen
Paul
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