zerlegung eines 2. tensors < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | ich will einen tensor zweiter stufe in einen skalar, vektor + 3x3 matrix zerlegen |
Hallo, ich habe ein problem, ich glaube es liegt daran, dass ich die notation nicht verstehe.
ich hoffe ich lasse nichts wichtiges weg; denke aber die frage dürfte für einen kundigen ein leichtes sein.
Wie man einen Teonsr 2. stufe in einen symmetrischen und einen assymetrischen tensor zerlegt, ist mir klar.
Nun kann man aber auch einen Tensor 2. stufe = [mm] T^{2} [/mm]
in einen skalar [mm] T^{0} [/mm] , einen assymetrischen [mm] T^{1} [/mm] und einen symmetrischen tensor [mm] T^{2}
[/mm]
zerlegen.
Ich habe auch die nötigen gleichungen hier vorliegen, aber ich verstehe sie nicht.
[mm] T^{0} [/mm] = 1/3 [mm] \summe_{i=a} R_{aa}
[/mm]
mit a=x,y,z ; (R ist also ein karthesischer tensor 2. stufe). Ok, das verstehe ich; dies ist schlicht die rotationsinvariante spur (ergibt physikalisch ein isotrophe groesse)
Nun aber die teile, die ich nicht verstehe :
[mm] T^{1} [/mm] = 1/2 [mm] (R_{ab} [/mm] - [mm] R_{ab})
[/mm]
dies soll einen assymetrischen tensor ergeben mit 3 komponenten, der sich wie ein vektor verhaelt.
[mm] T^{2} [/mm] = 1/2 [mm] (R_{ab} [/mm] + [mm] R_{ab}) [/mm] - 1/3 [mm] R_{yy}*kroneckers-delta
[/mm]
dies soll einen symmetrischen tensor 2. stufe mit 5 komponenten ergeben.
waere super, wenn mir jemanden weiterhelfen Koennte (vielleicht sogar mit beispiel? )
vielen dank,
markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mi 26.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nun aber die teile, die ich nicht verstehe :
>
> [mm]T^{1}[/mm] = 1/2 [mm](R_{ab}[/mm] - [mm]R_{ab})[/mm]
>
> dies soll einen assymetrischen tensor ergeben mit 3
> komponenten, der sich wie ein vektor verhaelt.
Dass dies ein antisymmetrischer Tensor ist, verstehst du doch aus der Definition? Damit hat er nur 3 unabhängige Komponenten: wegen der Antisymmetrie sind die Diagonalelemente alle 0, und die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich denen oberhalb der Hauptdiagonale, multipliziert mit -1.
Das er sich wie ein Vektor verhält, siehst du, wenn du dein Koordinatensystem drehst und die Komponenten in dem neuen K-System ausrechnest. Dann werden die 3 unabhängigen Komponenten wie die Komponenten eines Vektors transformiert. Allerdings verhält er sich bei Spiegelungen anders als "normale" Vektoren; er ändert keine Vorzeichen.
Genau gesprochen ist dieser Tensor das Hodge-Dual eines Vektors: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel
Das Kreuzprodukt ist ein Besipiel für einen solchen Vektor.
> [mm]T^{2}[/mm] = 1/2 [mm](R_{ab}[/mm] + [mm]R_{ab})[/mm] - 1/3 [mm]R_{yy}*kroneckers-delta[/mm]
>
> dies soll einen symmetrischen tensor 2. stufe mit 5
> komponenten ergeben.
Die Symmetrie ergibt sich aus der Definition. Es gibt 5 unabhängige Komponenten: wegen der Symmetrie sind die oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale gleich; außerdem ist die Spur 0, sodass sich ein Hauptdiagonalelement durch die beiden anderen ausdrücken lässt.
Viele Grüße
Rainer
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