zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | Wie groß ist die W-keit mit einem 4-seitigen fairen Würfel (die Seiten sind nummeriet mit den Zahlen 1, 2, 3, 4) mit 500 Würfen unter die addierte Würfelzahl von 1200 zu kommen?
Tipp: approximierte Lösung unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes. |
Hallo.
Ich habe zuerst angenommen dass die addierte Würfelzahl echt kleiner als 1200 ist.
Somit habe ich a=500 gesetzt, denn wenn man 500 mal die eins würfelt kommt man mindestens auf 500.
b=1199 und [mm] S_n=[/mm] [mm] \summe_{i=1}^{500} X_i[/mm] also die Summer der Würfe. n=500
Außerdem habe ich angenommen dass [mm]\Omega[/mm]={1,2,3,4} Gleichverteilt ist und somit der E(X)=2,5 und Var(X)=5/4
Um die W-keit nun auszurechnen habe ich die Formel P(a[mm]\le[/mm][mm] S_n[/mm] [mm]\le[/mm]b)~[mm]\bruch{1} {\wurzel{2pi}}[/mm]*[mm]\integral_{a-np/\sigma_n}^{b-np/\sigma_n} e^-x^2/2\, dx[/mm]
=[mm]\Phi[/mm](110,95)-[mm]\Phi[/mm](38,74)
Aber dies wäre ja null.
Bitte ein Tipp wie es richtig geht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
berechne den Erwartungswert [mm] $\nu=\text{E}[S_{500}]$ [/mm] und die Varianz
[mm] $\xi^2=\text{Var}[S_{500}]$. [/mm] Tu so, als waere [mm] $S_{500}$ [/mm] exakt normalverteilt.
*Ich* errechne so die Wsk 0.020675 (ohne Stetigkeitskorrektur).
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Hi.
Danke für deine Antwort.
Also wenn ich dich richtig verstanden habe soll ich [mm] E(S_n)=n*E(Xi)=500*2,5=1250 [/mm] und [mm] Var(S_n)=n*[/mm] [mm]\sigma^2[/mm]=500*(5/4)=625 berechnen?
Und was mache ich jetzt damit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mo 18.01.2010 | | Autor: | tvod |
Gucke Dir mal Deine Formel an, genauer gesagt die Integrationsgrenzen und was dort noch außer "b" bzw "a" drinnen steht bzw stehen sollte.
Ich würde sagen, das "np" gehört da gar nicht hin, sondern dass Du das vom Spezialfall der Binomialverteilungs-Approximation durch die Normalverteilung (deMoivre-Laplace) übernommen hast.
Wenn da das Richtige steht, dann siehst Du vermutlich auch, was Du mit den eben von Dir auf luis52 Vorschlag berechneten Werten anfangen kannst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Tut mir leid, ich weiß leider nicht wie die Grenzen richtig aussehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Tut mir leid, ich weiß leider nicht wie die Grenzen
> richtig aussehen.
Gesucht ist [mm] $P(S_n\le [/mm] 1199)$. Wie berechnet man das, wenn [mm] $S_n$ [/mm] normalverteilt ist?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
[mm] P(S_n[/mm] [mm]\le[/mm]1199)=[mm]\Phi[/mm](1199)=[mm]\bruch{1}{\wurzel2pi}[/mm]*[mm]\integral_{500}^{1200} e^-(1/2)*t^2dt[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> [mm]P(S_n\le[/mm]1199)=[mm]\Phi[/mm](1199)=[mm]\bruch{1}{\wurzel2pi}[/mm]*[mm]\integral_{500}^{1200} e^-(1/2)*t^2dt[/mm]
Bitte lies dir meine Hinweise sorgfaeltig durch und mach dich noch einmal mit der Normalverteilung vertraut. Du bist vollkommen auf dem Holzweg.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
[mm] P(S_n[/mm] [mm]\le[/mm]1199)
Standatisieren:[mm]\bruch {x-E(S_n)} {\wurzel{V(S_n)}[/mm]=[mm]\bruch{1199-1250} {\wurzel625}[/mm]=-2,04
[mm] P(S_n[/mm] [mm]\le[/mm]1199]=[mm]\Phi(-2,04)[/mm]=(siehe Tabellem für Normalverteilung)0,0207
Also mit einer W-keit von 2,07% liegt die addierte Würfelzahl unter 1200.
Ich hoffe nun ist es richtig?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 18.01.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich hoffe nun ist es richtig?!
Na also, geht doch.
vg Luis
|
|
|
|
