zeitabhängige SGL < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 Di 01.11.2011 | | Autor: | volk |
Hallo,
wir wurden im Bezug QM ins kalte Wasser geworfen und ich hänge jetzt an einer wohl einfachen Aufgabe fest.
Teilchen in einem Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden und [mm] -a{\le}x{\le}a. [/mm] Bei t=0 ist der Zustand der Wellenfunktion gegeben durch [mm] \Psi(x,t=0) [/mm] ~ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}sin(\bruch{\pi*x}{a})+\bruch{5i}{\wurzel{a}}sin(\bruch{3*\pi*x}{a}) [/mm] (Superposition zweier Eigenzustände des stat. Problems)
Wie gross ist die W'keit, das Teilchen zur zeit t>0 im ersten bzw. zweiten der beiden Eigenzustände zu finden?
Bin für jeden Tip dankbar
Grüße
volk
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 02.11.2011 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich schreibe mal, wo ich genau hänge.
Ich habe ja [mm] \Psi(x,t=0) [/mm] ~ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}sin(\bruch{\pi*x}{a})+\bruch{5i}{\wurzel{a}}sin(\bruch{3*\pi*x}{a}) [/mm] gegeben. Um daraus die zeitabhängige Schrödingergleichung zu erhalten, habe ich folgende Formel gefunden [mm] \Psi(x,t)=e^{-i\omega*t}*\Psi(x,t=0)
[/mm]
Damit folgt dann [mm] \Psi(x,t)=e^{-i\omega*t}*(\bruch{1}{\wurzel{a}}sin(\bruch{\pi*x}{a})+\bruch{5i}{\wurzel{a}}sin(\bruch{3*\pi*x}{a}))
[/mm]
Nun muss ich ja die Wellengleichung normieren. Also [mm] \integral_{-a}^{a}{|\Psi(x)| dx}=1
[/mm]
Dann erhalte ich einen Faktor, den ich an die Wellengleichung multiplizieren muss.
Damit kann ich dann wiederum die beiden Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Also [mm] \integral_{-a}^{a}{|N*e^{-i\omega*t}*\bruch{1}{\wurzel{a}}sin(\bruch{\pi*x}{a})| dx} [/mm] und [mm] \integral_{-a}^{a}{|N*e^{-i\omega*t}*\bruch{5i}{\wurzel{a}}sin(\bruch{3*\pi*x}{a})| dx}
[/mm]
mit dem Normierungsfaktor N.
Mein Problem ist jetzt, dass ich erst einmal nicht weiß, wie ich den Betrag von [mm] \Psi [/mm] berechne.
Grüße
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
du hast also eine Wellenfunktion gegeben zum Zeitpunkt [mm]t=0[/mm].
Kennst du die Eigenwellenfunktionen des Kastens? Falls ja, siehst du
eigentlich direkt, welche Eigenzustaende du hier gegeben hast.
Das mit dem Vorfaktor zur Zeitentwicklung stimmt nicht so ganz, denn deine
Eigenzustaende haben beide eine andere Energie, so dass beide mit
einer anderen Phase multipliziert werden muessen.
Denn nehmen wir mal an, du hast einen Hamiltonoperator [mm]H[/mm] gegeben und zwei
Eigenzustaende
[mm]|\psi_1\rangle[/mm] und [mm] |\psi_2\rangle$, [/mm] wobei gelten soll
[mm]H|\psi_{1,2}\rangle = E_{1,2}|\psi_{1,2}\rangle[/mm]
Dann kannst du daraus eine Wellenfunktion konstruieren als Superposition
der beiden, naemlich
[mm]|\psi\rangle = c_1 |\psi_1\rangle + c_2 |\psi_2\rangle[/mm]
Dann muss gelten, wie du richtig geschrieben hast
[mm]\langle \psi | \psi \rangle =1[/mm], also
[mm]|c_1|^2+|c_2|^2=1[/mm]
Nun ist die Schroedingergleichung ja gegeben durch
[mm]\mathrm{i}\hbar\partial_t|\psi\rangle = H |\psi\rangle[/mm]
Die formelle Loesung fuer zeitunabhaengige Hamilton-Operatoren lautet dann
[mm]|\psi(t)\rangle = \exp(-\mathrm i H t / \hbar)|\psi(0)\rangle[/mm]
also in unserem Fall
[mm]|\psi(t)\rangle = \exp(-\mathrm{i}Ht/\hbar)|\psi(0)\rangle[/mm]
Wenn man jetzt noch weiss, dass [mm]f(H)|\psi_{1,2}\rangle=f(E_{1,2})|\psi_{1,2}\rangle[/mm] fuer eine Funktion [mm]f[/mm] gilt, dann steht da nichts anderes
als
[mm]|\psi(t)\rangle = c_1 \exp(-\mathrm{i}E_1 t / \hbar) |\psi_1\rangle + c_2 \exp(-\mathrm{i}E_2 t / \hbar) |\psi_2\rangle[/mm]
D.h. jede Eigenfunktion wird mit der passenden Phase [mm] $\exp(-\mathrm{i}E_it/\hbar)$ [/mm] multiplziert, wobei [mm] $E_i$ [/mm] die Eigenenergie der Eigenfunktion ist.
Was du also hingeschrieben hast mit der [mm] $e^{\mathrm{i}\omega t}$-Phase [/mm] ist so nicht ganz korrekt (ausserdem waere das nur eine globale Phase und die sind sowieso ganz egal, weil es ja bei den Erwartungswerten, die wir ausrechnen immer nur auf Betragsquadrate ankommt der Wellenfunktion, so dass die globalen Phasen *immer* rausfallen).
Die Normierung schreibst du richtig hin, d.h. du muesstest das Integral noch ausrechnen, um die Wellenfkt. richtig zu normieren (falls sie es denn noch nicht ist).
Die zeitabhaengige Wellenfunktion schreibst du nicht ganz richtig hin, da du nur die globale Phase mitgenommen hast [wie es richtig geht, hab ich ja oben geschrieben].
Wie du dann weiter vorgehst, verstehe ich nicht genau. Aber wenn du dann die zeitabh. Wellenfunktion [mm] $|\psi(t)\rangle$ [/mm] gegeben hast, dann kannst du
die Wahrscheinlichkeit dafuer, das Teilchen im ersten Eigenzustand zu finden ausrechnen durch
[mm] $p_1(t)=|\langle \psi_1 [/mm] | [mm] \psi(t)\rangle|^2$.
[/mm]
D.h. wenn du dann [mm] $\psi(t)$ [/mm] im Ortsraum kennst, kannst du das Braket umschreiben in ein Integral
[mm] $\langle \psi_1 [/mm] | [mm] \psi(t)\rangle=\int\mathrm{d}x\,\psi_1^*(x)\psi(x,t)$
[/mm]
wobei [mm] $\psi_1(x)$ [/mm] die Wellenfuntkion des ersten Eigenzustandes im Ortsraum ist.
D.h. du musst dann das Integral ausrechnen und am Ende noch das Betragsquadrat dessen ausrechnen, damit du weist, was passiert.
Ich hoffe, das hilft ein bisschen weiter.
LG
Kroni
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