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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 03.06.2007 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Sei [mm] {y_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}( \lambda_{1}^n [/mm] - [mm] \lambda_{2}^n [/mm] ) mit [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}( [/mm] 1+ [mm] \wurzel{5})
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}( [/mm] 1- [mm] \wurzel{5})
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{y_n_+_1}{y_n} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] |
Hallo ! Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter..
So weit gehts noch:
[mm] \bruch{y_n_+_1}{y_n} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{5}}( \lambda_{1}^n^+^1 - \lambda_{2}^n^+^1 )}{\bruch{1}{\wurzel{5}}( \lambda_{1}^n - \lambda_{2}^n )}
[/mm]
Und dann weis ich leider nicht mehr weiter. Kann mir da einer vll. helfen?? Ich wäre für jede Antwort Dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\bruch{y_n_+_1}{y_n}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{1}{\wurzel{5}}( \lambda_{1}^n^+^1 - \lambda_{2}^n^+^1 )}{\bruch{1}{\wurzel{5}}( \lambda_{1}^n - \lambda_{2}^n )}[/mm]
Machen wir doch mal weiter:
[mm] = \bruch{( \lambda_{1}^n^+^1 - \lambda_{2}^n^+^1 )}{( \lambda_{1}^n - \lambda_{2}^n )}[/mm]
So, nun Klammern wir [mm] \lambda_1^n [/mm] oben und unten aus, dann steht da:
[mm] = \bruch{\lambda_1^n*(\bruch{\lambda_1^{n+1}}{\lambda_1^n} - \bruch{\lambda_2^{n+1}}{\lambda_1^n})}{\lambda_1^n(1 - \bruch{\lambda_2^n}{\lambda_1^n})}[/mm]
[mm] = \bruch{\lambda_1 - \bruch{\lambda_2^n}{\lambda_1^n}*\lambda_2}{1-(\bruch{\lambda_2}{\lambda_1})^n}[/mm]
[mm] = \bruch{\lambda_1 - (\bruch{\lambda_2}{\lambda_1})^n*\lambda_2}{1-(\bruch{\lambda_2}{\lambda_1})^n}[/mm]
So, und nun überlege:
Was weisst du über [mm] \bruch{\lambda_2}{\lambda_1} [/mm] und damit über [mm] (\bruch{\lambda_2}{\lambda_1})^n [/mm] für [mm]n \to \infty[/mm].
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 03.06.2007 | | Autor: | macio |
[mm] \bruch{\lambda_2}{\lambda_1} [/mm] < 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 03.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
> [mm]\bruch{\lambda_2}{\lambda_1}[/mm] < 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Was bedeutet das also für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^n$ [/mm] bzw. den gesamten Ausdruck [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\lambda_1 - \left(\bruch{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^n\cdot{}\lambda_2}{1-\left(\bruch{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^n}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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