zeige basis reeller polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 14.01.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Im VR (über [mm] \IR) [/mm] aller reellen Polynome vom Grad höchstens 3 sei [mm] p_1(x)= x^3+1, p_2(x)=(x+1)^2, p_3(x)=x^3-x^2, p_4(x)=x^3+x+2.
[/mm]
Bilden diese vier Polynome eine Basis? |
Hallo liebe Gemeinde!
Also um zu prüfen ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist muss ich nun prüfen: 1. lin. unabh. 2. Erzeugendensystem
fasse also die ang. Polynome als Vektoren auf und stelle folgende Matrix auf
(Spalte 3 ist Lösungsvektor für lin. unabh., Spalte 4 ist Löungsvektor für Erz. Sys.)
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & x_1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & x_2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & x_3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & x_4 }
[/mm]
bringe diese matrix dann in Zeilenstufenform
wenn die Dimension der Matrix dann weiterhin 4 ist und ich erhalte [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0 [/mm] (über Spalte 3) so ist die Menge lin. unabh.
wenn ich zusätzlich in Spalte 4 Lösungen für [mm] \lambda [/mm] 1-4 erhalte so ist die Menge auch ein Erzeugendensystem.
Also insgesamt eine Basis...
Ist die Vorgehensweise richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 14.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Im VR (über [mm]\IR)[/mm] aller reellen Polynome vom Grad
> höchstens 3 sei [mm]p_1(x)= x^3+1, p_2(x)=(x+1)^2, p_3(x)=x^3-x^2, p_4(x)=x^3+x+2.[/mm]
>
> Bilden diese vier Polynome eine Basis?
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Also um zu prüfen ob eine Menge von Vektoren eine Basis
> ist muss ich nun prüfen: 1. lin. unabh. 2.
> Erzeugendensystem
>
> fasse also die ang. Polynome als Vektoren auf und stelle
> folgende Matrix auf
>
> (Spalte 3 ist Lösungsvektor für lin. unabh., Spalte 4 ist
> Löungsvektor für Erz. Sys.)
Das verstehe ich nicht. In spalte 3 stehen doch die Koeff. von [mm] p_3 [/mm] und in Spalte 4 die von [mm] p_4
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & x_1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & x_2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & x_3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & x_4 }[/mm]
>
> bringe diese matrix dann in Zeilenstufenform
>
> wenn die Dimension der Matrix dann weiterhin 4 ist und ich
> erhalte [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0[/mm] (über
> Spalte 3) so ist die Menge lin. unabh.
>
> wenn ich zusätzlich in Spalte 4 Lösungen für [mm]\lambda[/mm] 1-4
> erhalte so ist die Menge auch ein Erzeugendensystem.
>
> Also insgesamt eine Basis...
>
> Ist die Vorgehensweise richtig??
ich verstehe Deine Vorgehensweise nicht ganz.
Schau Dir diese Matrix an:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
Wenn diese Matrix den Rang 4 hat, liegt eine Basis vor, anderenfalls nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mo 14.01.2013 | | Autor: | elmanuel |
Danke Fred!
sorry habe mich verschrieben, meinte spalte 5 für lin.unabh. und spalte 6 für erzeugendensystem
wenn ich mir nur den rang deiner matrix ansehe und dieser also 4 ist (forme dazu in zeilenstufenform um) dann sehe ich doch nur dass die vektoren lin. unabh. sind oder?
fehlt nicht noch das ich zeige das es ein erzeug. sys. ist also [mm] x_1, x_2, x_3, x_4 [/mm] ausdrückbar sind ?
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Hallo elmanuel,
> Danke Fred!
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> sorry habe mich verschrieben, meinte spalte 5 für
> lin.unabh. und spalte 6 für erzeugendensystem
>
> wenn ich mir nur den rang deiner matrix ansehe und dieser
> also 4 ist (forme dazu in zeilenstufenform um) dann sehe
> ich doch nur dass die vektoren lin. unabh. sind oder?
Ja!
>
> fehlt nicht noch das ich zeige das es ein erzeug. sys. ist
> also [mm]x_1, x_2, x_3, x_4[/mm] ausdrückbar sind ?
Wenn du aus der VL weißt (und das sollte eigentlich so sein), dass die Dimension des VRes der reellen Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ die Dimension n+1 hat, bist du fertig.
Anderenfalls rechne einfach nach:
Nimm ein bel. Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ her und stelle es als LK der vermeintlichen Basispolynome dar:
[mm] $ax^3+bx^2+cx+d=a_1\cdot{}p_1(x)+a_2\cdot{}p_2(x)+a_3\cdot{}p_3(x)+a_4\cdot{}p_4(x)$
[/mm]
Berechne hier die [mm] $a_i$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Di 15.01.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke schachuzipus!
habs jetzt raus...
ist meine erste linag vorlesung deswegen sind mir die begriffe noch nicht geläufig...
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