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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo. Zuersteinmal bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtigen unterbegriff für meine fragestellung gewählt habe, aber das kann ein admin sicher noch ändern. nun zu meiner Frage:
Für meine Facharbeit über die Projektion von Koordinaten auf der Kugeloberfläche, soll ich beweisen, dass die Zahlen Menge zwische 0 und 1 genauso groß ist wie die Zahlenmenge zwischen 1 und unendlich. allerdings weiß ich nicht, nach welchen begriff ich da googlen soll oder wie ich das erklären bzw beweisen kann. könnte mir da jemand helfen? und hat sonst noch jemand mögliche rechenverfahren zu meinem thema?
Gruß
the9ismine_
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 23.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hallo. Zuersteinmal bin ich mir nicht sicher, ob ich das
> richtigen unterbegriff für meine fragestellung gewählt
> habe, aber das kann ein admin sicher noch ändern.
Deswegen hab ich deine Frage mal in das Mengentheorie-Forum verschoben :)
> nun zu meiner Frage:
> Für meine Facharbeit über die Projektion von Koordinaten
> auf der Kugeloberfläche, soll ich beweisen, dass die Zahlen
> Menge zwische 0 und 1 genauso groß ist wie die Zahlenmenge
> zwischen 1 und unendlich.
Eine kleine Nachfrage: gehoeren 0 und/oder 1 jeweils mit zur Menge oder nicht? An der Aussage (dass die Mengen genauso gross sind) aendert das nichts, aber an einer Funktion die das zeigt schon.
> allerdings weiß ich nicht, nach
> welchen begriff ich da googlen soll oder wie ich das
> erklären bzw beweisen kann. könnte mir da jemand helfen?
Erstmal ein paar Fachwoerter, mit denen du weiterkommst. Die Anzahl der Elemente einer Menge bezeichnet man auch als deren ![[]](/images/popup.gif) Maechtigkeit oder Kardinalitaet. Weiterhin sagt man, dass zwei Mengen $A, B$ gleichmaechtig sind, wenn es eine Bijektion [mm] $\varphi [/mm] : A [mm] \to [/mm] B$ gibt, also eine Abbildung, die bijektiv ist. (Eine bijektive Funktion hat eine Umkehrabbildung: wenn du also eine Umkehrabbildung angeben kannst, die fuer jeden Bildpunkt der eigentlichen Funktion definiert ist, dann ist die Funktion bijektiv.)
Hier mal zwei Beispiele:
1) Die Mengen $[0, 1]$ und $[1, 2]$ sind gleichmaechtig:
Eine Bijektion ist [mm] $\varphi [/mm] : [0, 1] [mm] \to [/mm] [1, 2]$, $x [mm] \mapsto [/mm] x + 1$. Diese ist bijektiv mit Umkehrfunktion [mm] $\varphi^{-1} [/mm] : [1, 2] [mm] \to [/mm] [0, 1]$, $x [mm] \mapsto [/mm] x - 1$: damit ist naemlich [mm] $\varphi(\varphi^{-1}(y)) [/mm] = y$ fuer alle $y [mm] \in [/mm] [1, 2]$ und [mm] $\varphi^{-1}(\varphi(x)) [/mm] = x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$.
2) Die Mengen $[1, 2]$ und [mm] $[\frac{1}{2}, [/mm] 1]$ sind gleichmaechtig:
Eine Bijektion ist [mm] $\psi [/mm] : [1, 2] [mm] \to [\frac{1}{2}, [/mm] 1]$, $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$. [/mm] Die Umkehrfunktion ist ebenfalls gegen durch [mm] $\frac{1}{x}$, [/mm] formal: [mm] $\psi^{-1} [/mm] : [mm] [\frac{1}{2}, [/mm] 1] [mm] \to [/mm] [1, 2]$, $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$.
[/mm]
LG Felix
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